Variogramme

Le Modèle:Terme défini est une fonction mathématique utilisée en géostatistique, en particulier pour le krigeage. On parle également de Modèle:Terme défini, de par le facteur ½ de sa définition.

L'Modèle:Terme défini, Modèle:Terme défini, ou Modèle:Terme défini est l'estimation et l'étude d'un variogramme sur une variable aléatoire.

Variogramme d'une fonction aléatoire

Considérons une variable aléatoire, Modèle:Formule de la variable d'espace Modèle:Formule, et supposons-la stationnaire, c'est-à-dire que la moyenne et la variance de Modèle:Formule sont indépendantes de Modèle:Formule. On pose la grandeur: Modèle:Retrait Comme Modèle:Formule est stationnaire, le membre de droite dépend uniquement de la distance entre les points Modèle:Formule et Modèle:Formule. Le variogramme à une distance Modèle:Formule est alors la demi moyenne des carrés des différences des réalisations de Modèle:Formule sur les points espacés de Modèle:Formule. Modèle:Retrait

Variogramme borné

Modèle:Théorème La réciproque est fausse : si Modèle:Formule est intrinsèque et de variogramme borné, alors Modèle:Formule est la somme d'une fonction aléatoire stationnaire de [[espace L2|Modèle:Formule]] et d'une variable aléatoire réelle.

Intérêt du variogramme

Le variogramme est défini pour toute fonction aléatoire intrinsèque et dépendant uniquement de l'interdistance Modèle:Formule, alors que la fonction de covariance ne l'est que pour le cas d'une fonction aléatoire stationnaire d'ordre 2. De plus, l'estimation du variogramme n'est pas biaisée par la moyenne, au contraire de la covariance.

Paliers et portée

Si la covariance de Modèle:Formule tend vers 0 à l'infini, le variogramme présente un Modèle:Terme défini Modèle:Formule. On nomme Modèle:Terme défini la distance à partir de laquelle le variogramme atteint, respectivement, son palier ; la Modèle:Terme défini (parfois Modèle:Terme défini) est la distance à partir de laquelle le variogramme reste dans un intervalle de 5 % autour de son palier. La Modèle:Terme défini est le rapport de la portée sur la portée pratique.

Variogramme expérimental

Le Modèle:Terme défini ou Modèle:Terme défini est un estimateur du variogramme théorique à partir des données.

Soit un ensemble de points où sont connus les valeurs d'une variable régionalisée Modèle:Formule. Pour être exploitable, la somme doit se faire avec une certaine tolérance, c'est-à-dire que l'on réalisera la somme sur les couples interdistants de Modèle:Formule, où souvent on définit un pas Modèle:Formule pour Modèle:Formule et la tolérance Modèle:Formule. Alors on peut estimer le variogramme par la formule : Modèle:Retrait

Dans un cas plus général, Modèle:Formule pourra être un vecteur, et la somme se fera sur tous les points Modèle:Formule, Modèle:Formule tels que Modèle:Formule. Cela permet de traiter les anisotropies.

Variogramme empirique d'un processus gaussien

Si Modèle:Formule est un processus gaussien, on peut estimer une loi du variogramme empirique. Modèle:Retrait

Modélisation (ajustement)

Le variogramme estimé n'est pas prédictif et ne respecte le plus souvent pas les contraintes de krigeage. C'est pourquoi les méthodes géostatistiques modélisent le variogramme estimé par une fonction continue soumise à certaines contraintes (fonction conditionnellement définie négative). Cette étape s'appelle la modélisation ou l'ajustement du variogramme. La modélisation est la partie essentielle du krigeage.

Modèle gigogne

Le modèle est une fonction continue reproduisant au mieux l'allure générale du variogramme théorique. Toutes les fonctions ne sont pas possibles : elle doivent permettre la combinaison linéaire autorisée. Une combinaison linéaire Modèle:Formule est dite autorisée si son espérance et sa variance sont toujours définies (dans le modèle en question). On utilise généralement un modèle gigogne de variogramme sous la forme Modèle:Formule. L'approche en modèle gigogne peut conduire à considérer le phénomène étudié comme une somme de fonctions aléatoires indépendantes, que l'on peut étudier séparément dans le cadre de l'analyse krigeante ; cependant, ces composantes n'ont généralement pas de signification physique propre.

Les composantes sont définies par un palier Modèle:Formule et éventuellement une portée Modèle:Formule et des paramètres de formes. Les composantes Modèle:Formule les plus fréquemment utilisées sont :

Composantes de variogrammes

Comportement	Nom	Norme Modèle:Formule	Formule de la composanteModèle:Formule
composantes à palier Modèle:Formule, sans portée	pépite pure (correspondant à un bruit blanc faible)	—	$\gamma (h)=\{\begin{array}{cc}C,& \text{si }h>0\\ 0,& \text{si }h=0\end{array}$
composantes classiques à palier Modèle:Formule et portée Modèle:Formule	gaussien	1,731	$\gamma (h)=C(1-e^{-3{\left(\frac{h}{a}\right)}^2})$
	cubique	1	$\gamma \left(h\right)=C(7{\left(\frac{h}{a}\right)}^2-\frac{35}{4}{\left(\frac{h}{a}\right)}^3+\frac{7}{2}{\left(\frac{h}{a}\right)}^5-\frac{3}{4}{\left(\frac{h}{a}\right)}^7)$
	exponentiel	≃ 2,996	$\gamma (h)=C(1-e^{-\frac{h}{a}})$
	sphérique en dimension au plus 3	1	$\gamma (h)=\{\begin{array}{cc}C(\frac{3}{2}\frac{h}{a}-\frac{1}{2}{\left(\frac{h}{a}\right)}^3),& \text{si }0⩽h⩽a\\ C,& \text{si }h⩾a\end{array}$
	sinus cardinal	≃ 20,371	$\gamma \left(h\right)=C(1-\frac{sin\left(\frac{h}{a}\right)}{\frac{h}{a}})$
composantes classiques non-stationnaires	linéaire	1	$\gamma (h)=C\frac{h}{a}$
	puissance	1	$\gamma (h)=C{\left(\frac{h}{a}\right)}^b\text{où}0<b\le 2$
composantes plus rarement utilisées	stable ou exponentiel généralisé	Modèle:Formule	$\gamma \left(h\right)=C(1-e^{-{\left(\frac{h}{a}\right)}^{\alpha }})$
	gamma	Modèle:Formule	$\gamma \left(h\right)=C(1-\frac{1}{{(1+\frac{h}{a})}^{\alpha }})$, Modèle:Formule
	J de Bessel	1	$\gamma \left(h\right)=C(1-2^{\alpha }\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)\frac{J_{\alpha }\left(\frac{h}{a}\right)}{{\left(\frac{h}{a}\right)}^{\alpha }})$, Modèle:Formule
	K de Bessel ou Matérn où Modèle:Formule est la fonction de Bessel modifiée de deuxième espèce de paramètre Modèle:Formule	1	$\gamma \left(h\right)=C(1-\frac{{\left(\frac{h}{a}\right)}^{\alpha }}{2^{\alpha -1}\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}{K}_{-\alpha }\left(\frac{h}{a}\right))$, Modèle:Formule
	Modèle:Refnec
	Cauchy généralisé	Modèle:Formule	$\gamma \left(h\right)=C(1-{(1+{\left(\frac{h}{a}\right)}^2)}^{-\alpha })$, Modèle:Formule

Fichier:Cinq variogrammes et champs.jpg

Cinq structures classiques de variogrammes. À gauche, courbes des variogrammes en fonction de l'interdistance ; à droite, des champs stationnaires simulés, contraints par ces variogrammes

Anisotropie

Le Modèle:Terme défini dans la direction d'un vecteur unitaire Modèle:Formule est défini par Modèle:Formule. On parle d'anisotropie s'il existe deux vecteurs unitaires tels que les variogrammes directionnels sont différents. On distingue deux cas de figures principaux :

• Modèle:Terme défini : portées différentes, même palier selon la direction ; le variogramme est une déformation linéaire Modèle:Formule d'un variogramme isotrope Modèle:Formule ; Modèle:Formule.
• Modèle:Terme défini ou stratifiée : même portée, paliers différents selon la direction ; le variogramme est somme de composantes présentant des anisotropies de supports : dans une certaine base, elles ne dépendent que de certaines coordonnées. Il est déconseillé d'utiliser des modèles où les anisotropies sont séparables selon les coordonnées (par exemple Modèle:Formule)

Propriétés

Le variogramme est une fonction paire, à valeurs positives.

Lorsque la covariance Modèle:Formule est définie, elle est liée au variogramme par la relation :

$\gamma (h)=C(0)-C(h)$ où Modèle:Formule est la covariance à une distance Modèle:Formule (dépendante uniquement de Modèle:Formule pour une fonction aléatoire stationnaire)

Le variogramme est souvent une fonction croissante bornée. Dans ce cas, on nomme palier la limite du variogramme à l'infini et portée la distance où le palier est quasiment atteint (généralement, à 95 %). Lorsqu'elle existe, la variance Modèle:Formule est ce palier. En pratique, à cause en particulier des effets de bords, le variogramme calculé est croissant jusqu'à un maximum, puis globalement légèrement décroissant ou stable.

Convolution : soit Modèle:Formule la convolution Modèle:Formule d'une fonction aléatoire Modèle:Formule : Modèle:Formule. Alors la relation entre leurs variogrammes vérifie Modèle:Formule.

Propriétés du variogramme stationnaire

• $\gamma \left(0\right)=0$
• $\gamma \left(h\right)\ge 0\mathrm{\forall }h$
• symétrie : $\gamma \left(h\right)=\gamma (-h)\mathrm{\forall }h$
• Modèle:Formule est de type positif conditionnel : soit une mesure Modèle:Formule vérifiant Modèle:Formule, alors $\int \lambda \left(\mathrm{d}t\right)(-\gamma (t-u))\lambda \left(\mathrm{d}u\right)\ge 0$
• Pour tout Modèle:Formule Modèle:Formule est une covariance
• le rapport Modèle:Formule est borné pour Modèle:Formule
• en l'absence de dérive, c'est-à-dire dans le cas intrinsèque, $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{h\to \mathrm{\infty }}\frac{\gamma \left(h\right)}{{\left|h\right|}^2}=0$, autrement dit : $\gamma (h)=h\to \mathrm{\infty }𝐨\left({\left|h\right|}^2\right)$
• si le variogramme est borné à l'infini, la fonction aléatoire est stationnaire d'ordre 2 ; il existe alors une covariance stationnaire Modèle:Formule telle que Modèle:Formule
• Le variogramme Modèle:Formule est égal à la demie variance d'extension d'un point Modèle:Formule quelconque au point Modèle:Formule

Le comportement à l'origine du variogramme traduit la régularité de la fonction aléatoire.

Autre présentation du variogramme

On peut définir également le variogramme comme la fonction Modèle:Formule telle que $\text{si }\sum _i{\lambda }_i=0\text{, alors }𝐕𝐚𝐫\left[\sum _i{\lambda }_i{Z}_i\right]=\sum _{i,j}-{\lambda }_i{\gamma }_{i,j}{\lambda }_j$

Cette formule fournit une définition du variogramme à une constante additive près.

Substitution entre variogramme et covariance

Les formules définies dans l'hypothèse stationnaire peuvent être réécrites dans l'hypothèse intrinsèque, à condition qu'elles fassent intervenir des CLA, en remplaçant la covariance Modèle:Formule par l'opposé du variogramme Modèle:Formule

Effet pépite

La formule fournit immédiatement Modèle:Formule. Or l'on observe généralement que le variogramme ne tend pas vers 0 pour des petites distances. On appellera pépite la limite du variogramme en zéro. Elle représente la variation entre deux mesures effectuées à des emplacements infiniment proches, et peut donc provenir de trois effets :

• une variabilité naturelle du paramètre mesuré : il pourra par exemple prendre deux valeurs différentes si mesuré à deux instants différents ;
• une variabilité de l'instrument de mesure : la pépite mesure donc en partie l'erreur statistique de l'instrument de mesure ;
• un réel effet pépite : une variation brutale du paramètre mesuré ; le cas historique est le passage sans transition d'une pépite d'or à un sol ne contenant quasiment pas d'or.

Si le variogramme d'un champ est continu partout sauf à l'origine, ce champ se décompose en somme de deux champs, non-corrélés, de variogrammes respectifs une pépite pure et une fonction continue partout.

Cas multivariable

En géostatistique multivariable est défini le variogramme croisé Modèle:Formule d'une fonction aléatoire multivariable intrinsèque Modèle:Formule sur ses variables Modèle:Formule et Modèle:Formule au pas Modèle:Formule : Modèle:Retrait On pose sa généralisation Modèle:Formule aux points Modèle:Formule et Modèle:Formule aux distances Modèle:Formule et Modèle:Formule : Modèle:Retrait En toute généralité, Modèle:Formule n'est pas suffisant pour traiter le problème multivariable. Cette fonction est paire, donc ne rend pas compte des décalages entre variables. Précisément: Modèle:Retrait Cela a conduit à introduire le pseudovariogramme croisé, qui a l'inconvénient de sommer selon des composantes différentes (donc potentiellement selon des unités différentes): Modèle:Retrait

Articles connexes

• Covariance de Matérn

Bibliographie

• Modèle:PlumeModèle:Ouvrage