Liste des groupes finis simples

En mathématiques, la classification des groupes finis simples établit que chacun de ces groupes est :

• soit cyclique,
• soit alterné,
• soit membre d'une des seize familles de groupes de type de Lie (incluant le groupe de Tits),
• soit l'un des 26 groupes sporadiques (le groupe de Tits est parfois inclus dans les groupes de type de Lie, d'autres fois dans les groupes sporadiques).

La liste ci-dessous recense les groupes finis simples en les organisant par famille et précise à chaque fois leur ordre, la taille de leur multiplicateur de Schur, celle de leur groupe d'automorphismes extérieurs et éventuellement certaines représentations habituelles. Les groupes finis simples sont déterminés par leur ordre, excepté les groupes B_n(q) et C_n(q) dont l'ordre est identique pour n > 2 et q impair, et les groupes A₈ (ou A₃(2)) et A₂(4) dont l'ordre est 20 160.

À titre de notation, dans cette liste, n désigne un entier strictement positif, p un nombre premier et q une puissance entière de p. L'ordre du groupe d'automorphismes extérieurs est donné sous la forme d·f·g, où d est l'ordre du groupe des automorphismes diagonaux, f est celui du groupe d'automorphismes de corps (engendrés par un automorphisme de Frobenius) et g celui du groupe des automorphismes de graphe (provenant des automorphismes du diagramme de Dynkin).

Familles infinies

Groupes cycliques ZModèle:Ind, p premier

Notation : ℤModèle:Ind ou ℤ/pℤ

Simplicité : tous simples.

Ordre : p.

Multiplicateur de Schur : trivial.

Groupe d'automorphismes extérieurs : cyclique d'ordre p-1.

Remarque : parmi les groupes simples, les groupes cycliques d'ordre premier sont les seuls abéliens, donc non parfaits.

Groupes alternés AModèle:Ind, n ≥ 5

Notation : AModèle:Ind. Il existe un conflit avec la notation des [[#Groupes de Chevalley linéaires An(q)|groupes de type de Lie AModèle:Ind(q)]] qui n'ont aucun lien avec les groupes alternés ; certains auteurs utilisent des polices distinctes afin de les distinguer.

Simplicité : tous simples.

Ordre : n ! / 2.

Multiplicateur de Schur : 2 en général. Exceptions : ℤModèle:Ind pour n = 6 ou 7.

Groupe d'automorphismes extérieurs : 2 en général. Exception : pour n = 6, c'est le groupe de Klein (d'ordre 4).

Remarques :

• AModèle:Ind existe aussi pour n < 5 mais il est trivial pour n ≤ 2, AModèle:Ind est isomorphe à [[#Groupes cycliques Zp, p premier|ℤModèle:Ind]], AModèle:Ind est résoluble ;
• AModèle:Ind est un sous-groupe d'indice 2 du groupe symétrique SModèle:Ind des permutations de n points dès n > 1 ;
• AModèle:Ind est l'unique groupe simple d'ordre 360.

Groupes classiques

Groupes de Chevalley linéaires AModèle:Ind(q)

Notation : AModèle:Ind(q)

Autres noms : groupes projectifs spéciaux linéaires, PSL_n+1(q), L_n+1(q), PSL(n+1,q), PSL_n+1(FModèle:Ind)

Simplicité : AModèle:Ind(2)≃SModèle:Ind et AModèle:Ind(3)≃AModèle:Ind sont résolubles, les autres sont simples.

Ordre :

$\frac{1}{(n+1,q-1)}{q}^{n(n+1)/2}\prod _{i=1}^n(q^{i+1}-1),$

où $(a,b)$ désigne le PGCD de $a$ et $b$.

Multiplicateur de Schur : pour les groupes simples, il est cyclique d'ordre (n+1, q − 1), excepté pour AModèle:Ind(4) (ordre 2), AModèle:Ind(9) (ordre 6), AModèle:Ind(2) (ordre 2), AModèle:Ind(4) (ordre 48, produit de groupes cycliques d'ordres 3, 4, 4), AModèle:Ind(2) (ordre 2).

Groupe d'automorphismes extérieurs : (2, q − 1) ·f·1 pour n = 1 ; (n+1, q − 1) ·f·2 pour n > 1, où q = pModèle:Exp.

Isomorphismes (entre eux ou avec des groupes précédents) :

• AModèle:Ind(4) et AModèle:Ind(5) sont isomorphes à [[#Groupes alternés An, n ≥ 5|AModèle:Ind]].
• AModèle:Ind(7) et AModèle:Ind(2) sont isomorphes.
• AModèle:Ind(9) est isomorphe à AModèle:Ind.
• AModèle:Ind(2) est isomorphe à AModèle:Ind.

Remarques :

• AModèle:Ind(q) s'obtient à partir du groupe général linéaire GL_n+1(q) sur le corps fini FModèle:Ind en prenant les éléments de déterminant 1 (ce qui donne le groupe spécial linéaire SL_n+1(q)) puis en quotientant par le centre.
• Le plus petit groupe de cette famille qui soit simple et non isomorphe à un AModèle:Ind est le groupe simple d'ordre 168, AModèle:Ind(7)≃AModèle:Ind(2).

Groupes de Chevalley orthogonaux BModèle:Ind(q), n ≥ 2

Simplicité : BModèle:Ind(2)≃SModèle:Ind n'est ni simple, ni résoluble ; les autres sont simples.

Ordre :

$\frac{1}{(2,q-1)}{q}^{n^2}\prod _{i=1}^n(q^{2i}-1)$

Multiplicateur de Schur : (2,q − 1) en général. Exceptions : 2 pour BModèle:Ind(2)≃SModèle:Ind, 2 pour BModèle:Ind(2), 6 pour BModèle:Ind(3).

Groupe d'automorphismes extérieurs : (2, q − 1) ·f·1 pour q impair ou n>2 ; (2, q − 1) ·f·2 si q est pair et n=2, où q = pModèle:Exp.

Autres noms : OModèle:Ind(q), ΩModèle:Ind(q) (pour q impair).

Remarques :

• Ce groupe est obtenu à partir du groupe orthogonal O(2n+1) en prenant le noyau du déterminant et de l'application norme de spin.
• BModèle:Ind(q) existe aussi, mais est isomorphe à A₁(q).

Groupes de Chevalley symplectiques CModèle:Ind(q), n ≥ 3

Simplicité : tous simples.

Ordre :

$\frac{1}{(2,q-1)}{q}^{n^2}\prod _{i=1}^n(q^{2i}-1)$

Multiplicateur de Schur : (2,q − 1) en général. Exception : 2 pour CModèle:Ind(2).

Groupe d'automorphismes extérieurs : (2, q − 1) ·f·1, où q = pModèle:Exp.

Autres noms : groupe projectif symplectique, PSpModèle:Ind(q), PSpModèle:Ind(q) (non recommandé), SModèle:Ind(q).

Isomorphismes (avec des groupes précédents) : CModèle:Ind(2Modèle:Exp) est isomorphe à [[#Groupes de Chevalley orthogonaux Bn(q), n ≥ 2|BModèle:Ind(2Modèle:Exp)]].

Remarques :

• Ce groupe est obtenu à partir du groupe symplectique en 2n dimensions en quotientant par le centre.
• CModèle:Ind(q) existe aussi, mais est isomorphe à [[#Groupes de Chevalley linéaires An(q)|AModèle:Ind(q)]].
• CModèle:Ind(q) existe aussi, mais est isomorphe à [[#Groupes de Chevalley orthogonaux Bn(q), n ≥ 2|BModèle:Ind(q)]].

Groupes de Chevalley orthogonaux D_n(q), n ≥ 4

Simplicité : tous simples.

Ordre :

$\frac{1}{(4,q^n-1)}{q}^{n(n-1)}(q^n-1)\prod _{i=1}^{n-1}(q^{2i}-1)$

Multiplicateur de Schur : l'ordre est (4,qModèle:Exp-1), sauf pour DModèle:Ind(2) (ordre 4). Cyclique pour n impair, abélien élémentaire pour n pair.

Groupe d'automorphismes extérieurs :

• (2, q − 1)Modèle:2·f·6 pour n=4 (le groupe de diagramme d'automorphismes, inhabituellement grand, est isomorphe à [[Groupe symétrique|SModèle:Ind]] et contient l'automorphisme de Modèle:Lien).
• (2, q − 1)Modèle:2·f·2 pour n>4 pair,
• (4, qModèle:Exp − 1)Modèle:2·f·2 pour n impair,

où q = pModèle:Exp.

Autres noms : OModèle:IndModèle:Exp(q), PΩModèle:IndModèle:Exp(q).

Remarques :

• Ce groupe est obtenu à partir du groupe orthogonal O(n,n) en prenant le noyau du déterminant (ou l'invariant de Dickson en caractéristique 2) et de l'application norme de spin puis en quotientant par le centre.
• DModèle:Ind(q) existe aussi, mais est isomorphe à A₁(q)×AModèle:Ind(q).
• DModèle:Ind(q) existe aussi, mais est isomorphe à A₃(q).

Groupes de Steinberg unitaires Modèle:2AModèle:Ind(qModèle:2), n ≥ 2

Autres noms : groupes de Chevalley tordus, Modèle:Lien.

Notations : Modèle:2AModèle:Ind(qModèle:2), PSUModèle:Ind(q), PSU(n+1,q), UModèle:Ind(q), Modèle:2AModèle:Ind(q), Modèle:2AModèle:Ind(q,qModèle:2), pour n > 1.

Simplicité : Modèle:2AModèle:Ind(2Modèle:2) est résoluble (c'est une extension du groupe des quaternions par ℤModèle:Ind×ℤModèle:Ind), les autres sont simples.

Ordre :

$\frac{1}{(n+1,q+1)}{q}^{n(n+1)/2}\prod _{i=1}^n(q^{i+1}-(-1{)}^{i+1})$

Multiplicateur de Schur : cyclique d'ordre (n + 1, q + 1) pour les groupes simples, excepté pour Modèle:2AModèle:Ind(2Modèle:2) (ordre 2) Modèle:2AModèle:Ind(3Modèle:2) (ordre 36, produit de groupes cycliques d'ordres 3,3,4) et Modèle:2AModèle:Ind(2Modèle:2) (ordre 12, produit de groupes cycliques d'ordres 2,2,3)

Groupe d'automorphismes extérieurs : (n+1, q + 1) · f·1, où qModèle:2 = pModèle:Exp.

Isomorphisme : Modèle:2AModèle:Ind(2Modèle:2) est isomorphe à [[#Groupes de Chevalley orthogonaux Bn(q), n ≥ 2|BModèle:Ind(3)]].

Remarques :

• Ce groupe s'obtient à partir du groupe unitaire en n+1 dimensions en prenant le sous-groupe des éléments de déterminant 1 puis en quotientant par le centre.
• Modèle:2AModèle:Ind(qModèle:2) existe aussi mais il est résoluble.

Groupes de Steinberg orthogonaux Modèle:2DModèle:Ind(qModèle:2), n ≥ 4

Simplicité : tous simples.

Ordre :

$\frac{1}{(4,q^n+1)}{q}^{n(n-1)}(q^n+1)\prod _{i=1}^{n-1}(q^{2i}-1)$

Multiplicateur de Schur : cyclique d'ordre (4, qModèle:Exp + 1).

Groupe d'automorphismes extérieurs : (4, qⁿ + 1) ·f·1, où qModèle:2 = pModèle:Exp.

Autres noms : Modèle:2DModèle:Ind(q), OModèle:IndModèle:Exp(q), PΩModèle:IndModèle:Exp(q), groupe de Chevalley tordu.

Remarques :

• Ce groupe s'obtient à partir du groupe orthogonal O(2n) en prenant le noyau du déterminant (ou l'invariant de Dickson en caractéristique 2) et de l'application de norme de spin puis en quotientant par le centre.
• Modèle:2DModèle:Ind(qModèle:2) existe aussi, mais est isomorphe à [[#Groupes de Chevalley linéaires An(q)|AModèle:Ind(q)]].
• Modèle:2DModèle:Ind(qModèle:2) existe aussi, mais est isomorphe à [[#Groupes de Steinberg unitaires 2An(q2), n ≥ 2|Modèle:2AModèle:Ind(qModèle:2)]].

Groupes de type de Lie exceptionnels

Groupes de Chevalley EModèle:Ind(q)

Simplicité : tous simples.

Ordre : qModèle:Exp(qModèle:12−1)(qModèle:9−1)(qModèle:8−1)(qModèle:6−1)(qModèle:5−1)(qModèle:2−1) /(3,q-1)

Multiplicateur de Schur : (3,q − 1).

Groupe d'automorphismes extérieurs : (3, q − 1) ·f·2, où q = pModèle:Exp.

Autre nom : groupe de Chevalley exceptionnel.

Remarque : possède deux représentations de degré 27, et agit sur l'algèbre de Lie de dimension 78.

Groupes de Chevalley EModèle:Ind(q)

Simplicité : tous simples.

Ordre : qModèle:Exp(qModèle:18−1)(qModèle:14−1)(qModèle:12−1)(qModèle:8−1)(qModèle:6−1)(qModèle:2−1) /(2,q-1).

Multiplicateur de Schur : (2,q − 1).

Groupe d'automorphismes extérieurs : (2, q − 1) ·f·1, où q = pModèle:Exp.

Autre nom : groupe de Chevalley exceptionnel.

Remarque : possède une représentation de degré 56, et agit sur l'algèbre de Lie correspondante de dimension 133.

Groupes de Chevalley EModèle:Ind(q)

Simplicité : tous simples.

Ordre : qModèle:Exp(qModèle:30−1)(qModèle:24−1)(qModèle:20−1)(qModèle:18−1)(qModèle:14−1)(qModèle:12−1)(qModèle:8−1)(qModèle:2−1)

Multiplicateur de Schur : trivial.

Groupe d'automorphismes extérieurs : 1·f·1, où q = pModèle:Exp.

Autre nom : groupe de Chevalley exceptionnel.

Remarques :

• Il agit sur l'algèbre de Lie correspondante de dimension 248.
• EModèle:Ind(3) contient le groupe de Thompson.

Groupes de Chevalley FModèle:Ind(q)

Simplicité : tous simples.

Ordre : qModèle:24(qModèle:12−1)(qModèle:8−1)(qModèle:6−1)(qModèle:2−1).

Multiplicateur de Schur : trivial excepté pour FModèle:Ind(2) (ordre 2).

Groupe d'automorphismes extérieurs : 1·f·1 pour q impair, 1·f·2 pour q pair, où q = pModèle:Exp.

Autre nom : groupe de Chevalley exceptionnel.

Remarque : ces groupes agissent sur des algèbres de Jordan exceptionnelles de dimension 27, ce qui leur donne des représentations de degré 26. Ils agissent aussi sur les algèbres de Lie correspondantes de dimension 52.

Groupes de Chevalley GModèle:Ind(q)

Simplicité : GModèle:Ind(2) n'est ni simple, ni résoluble (son sous-groupe dérivé, isomorphe au groupe simple [[#Groupes de Steinberg unitaires 2An(q2), n ≥ 2|Modèle:2AModèle:Ind(3Modèle:2)]], est d'indice 2) ; les autres sont simples.

Ordre : qModèle:6(qModèle:6−1)(qModèle:2−1).

Multiplicateur de Schur : trivial pour les groupes simples excepté pour GModèle:Ind(3) (ordre 3) et GModèle:Ind(4) (ordre 2).

Groupe d'automorphismes extérieurs : 1·f·1 pour q non puissance de 3, 1·f·2 pour q puissance de 3, où q = pModèle:Exp.

Autre nom : groupe de Chevalley exceptionnel.

Remarque : ces groupes sont des groupes d'automorphismes des algèbres de Cayley de dimension 8 sur des corps finis, ce qui leur donne des représentations de degré 7. Ils agissent aussi sur les algèbres de Lie correspondantes de dimension 14.

Groupes de Steinberg Modèle:2EModèle:Ind(qModèle:2)

Simplicité : tous simples.

Ordre : qModèle:Exp(qModèle:12−1)(qModèle:9−1)(qModèle:8−1)(qModèle:6−1)(qModèle:5−1)(qModèle:2−1)/(3,q+1).

Multiplicateur de Schur : (3, q + 1) excepté pour Modèle:2EModèle:Ind(2Modèle:2) (ordre 12, produit de groupes cycliques d'ordres 2,2,3).

Groupe d'automorphismes extérieurs : (3, q + 1) ·f·1, où qModèle:2 = pModèle:Exp.

Autres noms : Modèle:2EModèle:Ind(q), groupe de Chevalley tordu.

Remarques : un des Modèle:Lien doubles exceptionnels de Modèle:2EModèle:Ind(2Modèle:2) est un sous-groupe du groupe Bébé Monstre, et l'extension centrale exceptionnelle par le groupe de Klein est un sous-groupe du groupe Monstre.

Groupes de Steinberg Modèle:3DModèle:Ind(qModèle:3)

Simplicité : tous simples.

Ordre : qModèle:12(qModèle:8+qModèle:4+1)(qModèle:6−1)(qModèle:2−1).

Multiplicateur de Schur : trivial.

Groupe d'automorphismes extérieurs : 1·f·1, où qModèle:3 = pModèle:Exp.

Autres noms : Modèle:3DModèle:Ind(q), groupes de Chevalley tordus.

Remarque : Modèle:3DModèle:Ind(2Modèle:3) agit sur l'unique réseau pair à 26 dimensions de déterminant 3 sans racine.

Groupes de Suzuki Modèle:2BModèle:Ind(2Modèle:Exp), n ≥ 1

Simplicité : tous simples.

Ordre : qModèle:2(qModèle:2+1)(q−1), où q = 2Modèle:Exp.

Multiplicateur de Schur : trivial en général. Exception : groupe de Klein pour Modèle:2BModèle:Ind(8).

Groupe d'automorphismes extérieurs : 1·f·1, où f = 2n+1.

Autres noms : Suz(2Modèle:Exp), Sz(2Modèle:Exp).

Remarques :

• Les groupes de Suzuki sont des Modèle:Lien agissant sur les ensembles de taille (2Modèle:Exp)Modèle:2+1, et ont des représentations de degré 4 sur le corps à 2Modèle:Exp éléments. Ce sont les seuls groupes simples non cycliques dont l'ordre n'est pas divisible par 3. Ils ne sont pas reliés au groupe de Suzuki sporadique.
• Le groupe Modèle:2BModèle:Ind(2) existe aussi, mais c'est le groupe de Frobenius d'ordre 20, résoluble.

Groupes de Ree Modèle:2FModèle:Ind(2Modèle:Exp) et groupe de Tits

Simplicité : simple pour n ≥ 1. Le groupe dérivé Modèle:2FModèle:Ind(2)′ (d'indice 2 dans Modèle:2FModèle:Ind(2)) est simple ; c'est le groupe de Tits.

Ordre : Modèle:2FModèle:Ind(2Modèle:Exp) est d'ordre qModèle:12(qModèle:6+1)(qModèle:4−1)(qModèle:3+1)(q−1), où q = 2Modèle:Exp.

Multiplicateur de Schur : trivial pour n ≥ 1 et pour le groupe de Tits.

Groupe d'automorphismes extérieurs : 1·f·1, où f = 2n+1. Ordre 2 pour le groupe de Tits.

Remarque : le groupe de Tits n'est pas à strictement parler un groupe de type Lie et en particulier, il n'est pas le groupe de points d'un groupe algébrique simple connexe à valeurs dans un certain corps et n'a pas de paire (B,N). Néanmoins, la plupart des auteurs le comptent comme une sorte de groupe de type Lie honoraire.

Groupes de Ree Modèle:2GModèle:Ind(3Modèle:Exp), n ≥ 1

Simplicité : tous simples.

Ordre : qModèle:3(qModèle:3+1)(q−1), où q = 3Modèle:Exp.

Multiplicateur de Schur : trivial.

Groupe d'automorphismes extérieurs : 1·f·1, où f = 2n+1.

Autres noms : Ree(3Modèle:Exp), R(3Modèle:Exp).

Remarques :

• Modèle:2GModèle:Ind(3Modèle:Exp) possède une action doublement transitive sur 3Modèle:Exp+1 points et une représentation de degré 7 sur le corps à 3Modèle:Exp éléments.
• Modèle:2GModèle:Ind(3) existe aussi mais n'est pas simple ; son groupe dérivé (d'indice 3) est le groupe simple [[#Groupes de Chevalley linéaires An(q)|AModèle:Ind(8)]].

Groupes sporadiques

Groupes de Mathieu

Groupe de Mathieu MModèle:Ind

Ordre : 2Modèle:4 · 3Modèle:2 · 5 · 11=7 920

Multiplicateur de Schur : trivial.

Groupe d'automorphismes extérieurs : trivial.

Remarque : c'est un groupe de permutations 4-transitif sur 11 points, et le stabilisateur d'un point dans MModèle:Ind. Le sous-groupe fixant un second point est quelquefois appelé MModèle:Ind, et possède un sous-groupe d'indice 2 isomorphe au [[#Groupes alternés An, n ≥ 5|groupe alterné AModèle:Ind]].

Groupe de Mathieu MModèle:Ind

Ordre : 2Modèle:6 · 3Modèle:3 · 5 · 11 = 95 040

Multiplicateur de Schur : ordre 2.

Groupe d'automorphismes extérieurs : ordre 2.

Remarque : c'est un groupe de permutations 5-transitif sur 12 points.

Groupe de Mathieu MModèle:Ind

Ordre : 2Modèle:7 · 3Modèle:2 · 5 · 7 · 11 = 443 520

Multiplicateur de Schur : cyclique d'ordre 12. Il y a eu plusieurs erreurs dans les calculs initiaux du multiplicateur de Schur, ainsi certains livres et articles anciens listent des valeurs incorrectes.

Groupe d'automorphismes extérieurs : ordre 2.

Remarque : c'est un groupe de permutations 3-transitif sur 22 points.

Groupe de Mathieu MModèle:Ind

Ordre : 2Modèle:7 · 3Modèle:2 · 5 · 7 · 11 · 23 = 10 200 960

Multiplicateur de Schur : trivial.

Groupe d'automorphismes extérieurs : trivial.

Remarque : c'est un groupe de permutations 4-transitif sur 23 points, contenu dans MModèle:Ind.

Groupe de Mathieu MModèle:Ind

Ordre : 2Modèle:10 · 3Modèle:3 · 5 · 7 · 11 · 23 = 244 823 040

Multiplicateur de Schur : trivial.

Groupe d'automorphisme extérieur : trivial.

Remarque : c'est un groupe de permutations 5-transitif sur 24 points.

Groupes du réseau de Leech

Groupe de Janko JModèle:Ind

Ordre : 2Modèle:7 · 3Modèle:3 · 5Modèle:2 · 7 = 604 800

Multiplicateur de Schur : ordre 2.

Groupe d'automorphismes extérieurs : ordre 2.

Autres noms : Groupe de Hall-Janko, HJ

Remarque : c'est le groupe d'automorphismes d'un graphe de rang 3 sur 100 points, et il est contenu dans [[#Groupes de Chevalley G2(q)|GModèle:Ind(4)]].

Groupe de Conway CoModèle:Ind

Ordre : 2Modèle:21 · 3Modèle:9 · 5Modèle:4 · 7Modèle:2 · 11 · 13 · 23 = 4 157 776 806 543 360 000

Multiplicateur de Schur : ordre 2.

Groupe d'automorphismes extérieurs : trivial.

Autres noms : ·1

Remarque : le Modèle:Lien double parfait de Co₁ est le groupe d'automorphismes du réseau de Leech, et est quelquefois noté par ·0.

Groupe de Conway CoModèle:Ind

Ordre : 2Modèle:18 · 3Modèle:6 · 5Modèle:3 · 7 · 11 · 23 = 42 305 421 312 000

Multiplicateur de Schur : trivial.

Groupe d'automorphismes extérieurs : trivial.

Autres noms : ·2

Remarque : c'est un sous-groupe de CoModèle:Ind qui fixe un vecteur de norme 4 dans le réseau de Leech.

Groupe de Conway CoModèle:Ind

Ordre : 2Modèle:10 · 3Modèle:7 · 5Modèle:3 · 7 · 11 · 23 = 495 766 656 000

Multiplicateur de Schur : trivial.

Groupe d'automorphismes extérieurs : trivial.

Autres noms : ·3

Remarque : c'est un sous-groupe de CoModèle:Ind qui fixe un vecteur de norme 6 dans le réseau de Leech.

Groupe de Higman-Sims HS

Ordre : 2Modèle:9 · 3Modèle:2 · 5Modèle:3· 7 · 11 = 44 352 000

Multiplicateur de Schur : ordre 2.

Groupe d'automorphismes extérieurs : ordre 2.

Remarque : il agit comme un groupe de permutations de rang 3 sur le graphe de Higman-Sims à 100 points et est contenu dans CoModèle:Ind.

Groupe de McLaughlin McL

Ordre : 2Modèle:7 · 3Modèle:6 · 5Modèle:3· 7 · 11 = 898 128 000

Multiplicateur de Schur : ordre 3.

Groupe d'automorphismes extérieurs : ordre 2.

Remarque : il agit comme un groupe de permutations de rang 3 sur le graphe de McLauglin à 275 points et est contenu dans CoModèle:Ind.

Groupe de Suzuki sporadique Suz

Ordre : 2Modèle:13 · 3Modèle:7 · 5Modèle:2· 7 · 11 · 13 = 448 345 497 600

Multiplicateur de Schur : ℤModèle:Ind.

Groupe d'automorphismes extérieurs : ordre 2.

Autre nom : Sz.

Remarque : l'extension de Suz par ℤModèle:Ind agit sur un réseau à 12 dimensions sur les entiers d'Eisenstein. Il n'est pas relié aux groupes de Suzuki de type de Lie.

Sous-groupes du Monstre

Groupe de Fischer FiModèle:Ind

Ordre : 2Modèle:17 · 3Modèle:9 · 5Modèle:2 · 7 · 11 · 13 = 64 561 751 654 400

Multiplicateur de Schur : ordre 6.

Groupe d'automorphismes extérieurs : ordre 2.

Autre nom : MModèle:Ind

Remarque : c'est un Modèle:Lien dont le revêtement double est contenu dans FiModèle:Ind.

Groupe de Fischer FiModèle:Ind

Ordre : 2Modèle:18 · 3Modèle:13 · 5Modèle:2 · 7 · 11 · 13 · 17 · 23 = 4 089 470 473 293 005 000

Multiplicateur de Schur : trivial.

Groupe d'automorphismes extérieurs : trivial.

Autre nom : M(23).

Remarque : c'est un groupe de 3-transpositions contenu dans FiModèle:Ind.

Groupe de Fischer FiModèle:Ind′

Ordre : 2Modèle:21 · 3Modèle:16 · 5Modèle:2 · 7Modèle:3 · 11 · 13 · 17 · 23 · 29 = Modèle:Unité

Multiplicateur de Schur : ordre 3.

Groupe d'automorphismes extérieurs : ordre 2.

Autres noms : M(24)′, FiModèle:Ind′.

Remarque : le revêtement triple est contenu dans le groupe Monstre.

Groupe de Held He

Ordre : 2Modèle:10 · 3Modèle:3 · 5Modèle:2· 7Modèle:3· 17 = 4 030 387 200

Multiplicateur de Schur : trivial.

Groupe d'automorphismes extérieurs : ordre 2.

Autres noms : Groupe de Modèle:Lien-Higman-McKay, HHM, FModèle:Ind.

Remarque : il centralise un élément d'ordre 7 dans le groupe Monstre.

Groupe de Harada-Norton HN

Ordre : 2Modèle:14 · 3Modèle:6 · 5Modèle:6 · 7 · 11 · 19 = 273 030 912 000 000

Multiplicateur de Schur : trivial.

Groupe d'automorphismes extérieurs : ordre 2.

Autres noms : FModèle:Ind, D.

Remarque : il centralise un élément d'ordre 5 dans le groupe Monstre.

Groupe de Thompson Th

Ordre : 2Modèle:15 · 3Modèle:10 · 5Modèle:3 · 7Modèle:2 · 13 · 19 · 31 = 90 745 943 887 872 000

Multiplicateur de Schur : trivial.

Groupe d'automorphismes extérieurs : trivial.

Autres noms : FModèle:Ind, E.

Remarque : il centralise un élément d'ordre 3 dans le Monstre et est contenu dans [[#Groupes de Chevalley E8(q)|EModèle:Ind(3)]].

Groupe Bébé Monstre B

Ordre : 2Modèle:Exp · 3Modèle:13 · 5Modèle:6 · 7Modèle:2 · 11 · 13 · 17 · 19 · 23 · 31 · 47 = Modèle:Unité

Multiplicateur de Schur : ordre 2.

Groupe d'automorphismes extérieurs : trivial.

Autre nom : FModèle:Ind.

Remarque : le double revêtement du groupe Bébé Monstre est contenu dans le groupe Monstre.

Groupe Monstre M

Modèle:Article détaillé Notations : M, FModèle:Ind, MModèle:Ind.

Autres noms : groupe de Fischer-Griess, monstre de Fischer, Géant amical.

Ordre : 2⁴⁶ · 3Modèle:20 · 5Modèle:9 · 7Modèle:6 · 11Modèle:2 · 13Modèle:3 · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 41 · 47 · 59 · 71 = Modèle:Unité

Multiplicateur de Schur : trivial.

Groupe d'automorphismes extérieurs : trivial.

Remarques : le groupe Monstre est le groupe d'automorphismes de l'algèbre de Griess à 196 884 dimensions et de l'algèbre vertex monstre ; il agit naturellement sur l'algèbre de Lie Monstre. Il contient quasiment tous les autres groupes sporadiques, à part 6 groupes sporadiques que l'on nomme parias.

Parias

Groupe de Janko JModèle:Ind

Ordre : 2Modèle:3 · 3 · 5 · 7 · 11 · 19 = 175 560

Multiplicateur de Schur : trivial.

Groupe d'automorphismes extérieurs : trivial.

Autres noms : J(1), J(11).

Remarque : c'est un sous-groupe de [[#Groupes de Chevalley G2(q)|GModèle:Ind(11)]], donc il possède une représentation de degré 7 sur le corps à 11 éléments.

Groupe de Janko JModèle:Ind

Ordre : 2Modèle:7 · 3Modèle:5 · 5 · 17 · 19 = 50 232 960

Multiplicateur de Schur : ordre 3.

Groupe d'automorphismes extérieurs : ordre 2.

Autres noms : Groupe de Higman-Janko-McKay, HJM.

Remarques : JModèle:Ind semble ne pas être relié à un quelconque groupe sporadique. Son revêtement triple possède une représentation de degré 9 sur le corps à 4 éléments.

Groupe de Janko JModèle:Ind

Ordre : 2Modèle:21 · 3Modèle:3 · 5 · 7 · 11Modèle:3 · 23 · 29 · 31 · 37 · 43 = Modèle:Unité

Multiplicateur de Schur : trivial.

Groupe d'automorphismes extérieurs : trivial.

Remarque : il possède une représentation de degré 112 sur le corps à 2 éléments.

Groupe de O'Nan O'N

Notation : O'N, O'NS.

Autre nom : groupe de Modèle:Lien-Sims.

Ordre : 2Modèle:9 · 3Modèle:4 · 5 · 7Modèle:3 · 11 · 19 · 31 = 460 815 505 920

Multiplicateur de Schur : ordre 3.

Groupe d'automorphismes extérieurs : ordre 2.

Remarque : le revêtement triple possède deux représentations de degré 45 sur le corps à 7 éléments, échangés par un automorphisme extérieur.

Groupe de Rudvalis Ru

Ordre : 2Modèle:14 · 3Modèle:3 · 5Modèle:3· 7 · 13 · 29 = 145 926 144 000

Multiplicateur de Schur : ordre 2.

Groupe d'automorphismes extérieurs : trivial.

Remarque : le revêtement double agit sur un réseau à 28 dimensions sur les entiers de Gauss.

Groupe de Lyons Ly

Notations : Ly, LyS.

Autre nom : groupe de Lyons-Sims.

Ordre : 2Modèle:8 · 3Modèle:7 · 5Modèle:6 · 7 · 11 · 31 · 37 · 67 = 51 765 179 004 000 000

Multiplicateur de Schur : trivial.

Groupe d'automorphismes extérieurs : trivial.

Remarque : il possède une représentation de degré 111 sur le corps à 5 éléments.

Liste par ordre croissant

La liste suivante recense les groupes simples finis non cycliques d'ordre inférieur à 10 000. Les groupes cycliques ne sont pas inclus dans cette liste dans la mesure où tout groupe cyclique d'ordre p est simple dès que p est premier, ce qui est le cas pour 1 229 nombres inférieurs à 10 000.

Groupe	Ordre (valeur)	Ordre (factorisation)
A5 = A1(4) = A1(5)	60	2² · 3 · 5
A1(7) = A2(2)	168	2³ · 3 · 7
A6 = A1(9) = B2(2)′	360	2³ · 3² · 5
A1(8) = ²G2(3)′	504	2³ · 3² · 7
A1(11)	660	2² · 3 · 5 · 11
A1(13)	1 092	2² · 3 · 7 · 13
A1(17)	2 448	24 · 3² · 17
A7	2 520	2³ · 3² · 5 · 7
A1(19)	3 420	2² · 3² · 5 · 19
A1(16)	4 080	24 · 3 · 5 · 17
A2(3)	5 616	24 · 33 · 13
²A2(9)	6 048	25 · 33 · 7
A1(23)	6 072	23 · 3 · 11 · 23
A1(25)	7 800	23 · 3 · 5² · 13
M11	7 920	24 · 3² · 5 · 11
A1(27)	9 828	2² · 33 · 7 · 13

Références

• Lluis Puig, La classification des groupes finis simples : bref aperçu et quelques conséquences internes, Séminaire Bourbaki 24 (1981-1982), Exposé No. 584, Modèle:P.
• Modèle:En Daniel Gorenstein, Richard Lyons, Ronald Solomon, The Classification of the Finite Simple Groups (volume 1), AMS, 1994 (volume 2), AMS
• Modèle:Ouvrage version électronique
• Modèle:En Modèle:Lien, Modèle:Lang, Modèle:ISBN

Voir aussi

Article connexe

Groupes finis de Coxeter