Q-dérivée

En mathématiques, notamment en combinatoire et en calcul quantique, la q-dérivée (aussi appelée dérivée de Jackson) est un q-analogue de la dérivée ordinaire, introduite par Frank Hilton Jackson. C'est l'inverse de la q-intégration de Jackson.

Définition

La q-dérivée (dérivée de Jackson) d'une fonction $f$ est définie commeModèle:SfnModèle:,Modèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn :$${\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\right)}_{q}f(x)=\frac{f(qx)-f(x)}{qx-x}.$$

Elle est souvent notée $D_{q}f(x)$.

Formellement, en termes d'opérateur de décalage de Lagrange en variable logarithmique, on peut écrire :

$$D_q=\frac{1}{x}\frac{q^{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\ln x}}-1}{q-1}$$.

Ceci montre que $D_q$ tend vers la dérivée ordinaire $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$ lorsque $q$ tend vers 1.

La q-dérivée a des propriétés analogues à la dérivée usuelle. C'est un opérateur linéaire :

$D_q(f(x)+g(x))=D_{q}f(x)+D_{q}g(x)$.

Il existe une règle de produit analogue à la règle du produit pour la dérivée ordinaire :

$D_q(f(x)g(x))=g(x)D_{q}f(x)+f(qx)D_{q}g(x)=g(qx)D_{q}f(x)+f(x)D_{q}g(x)$.

On a aussi l'identité suivante pour les quotients :

$D_q\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{g(x)D_{q}f(x)-f(x)D_{q}g(x)}{g(qx)g(x)},g(x)g(qx)\ne 0$.

Pour la composition, on obtient, avec $g(x)=c{x}^k$ :

$D_{q}f(g(x))=D_{q^k}(f)(g(x))D_q(g)(x)$.

La fonction propre de la q-dérivée est la q-exponentielle $e_q(x)$.

Relation avec les dérivées ordinaires

La q-dérivation ressemble à une dérivation ordinaire, avec quelques différences notables. Par exemple, la q-dérivée du monôme estModèle:Sfn :

${\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\right)}_q{z}^n=\frac{1-q^n}{1-q}{z}^{n-1}=[n{]}_q{z}^{n-1}$

où $[n{]}_q$ est le q-symbole de Pochhammer de $n$. On peut noter que $\underset{q\to 1}{\lim }[n{]}_q=n$, et on retrouve alors la dérivée ordinaire.

La q-dérivée $n$-ième d'une fonction vérifieModèle:Sfn :

$\left(D_q^{n}f\right)(0)=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\frac{{(q;q)}_n}{{(1-q)}^n}=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}[n]{!}_q$

si la dérivée $n$-ième ordinaire de $f$ existe en $x=0$. Ici, ${(q;q)}_n$ est le q-symbole de Pochhammer et $[n]{!}_q$ est la q-factorielle. Si $f(x)$ est analytique, on peut appliquer la formule de Taylor à la définition de $D_q(f(x))$ et ainsi obtenir :

$D_q(f(x))=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(q-1)}^k}{(k+1)!}{x}^k{f}^{(k+1)}(x)$.

Le q-analogue du développement de Taylor d'une fonction autour de 0 devientModèle:Sfn :

$f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{f}^{(n)}(0)\frac{z^n}{n!}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left(D_q^{n}f\right)(0)\frac{z^n}{[n]{!}_q}$.

q-dérivées d'ordre supérieur

Pour les q-dérivées d'ordre supérieur, on a l'identité suivanteModèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn :

$D_q^{n}f(x)=\frac{1}{{(1-q)}^n{x}^n}\sum _{k=0}^n{(-1)}^k{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}_q{q}^{(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{2})-(n-1)k}f\left(q^{k}x\right)$,

où ${(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}_q$ est le coefficient q-binomial. En changeant l'ordre de sommation avec $r=n-k$, on obtient la formule suivanteModèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn :

$D_q^{n}f(x)=\frac{{(-1)}^n{q}^{-(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})}}{{(1-q)}^n{x}^n}\sum _{r=0}^n{(-1)}^r{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})}_q{q}^{(\genfrac{}{}{0ex}{}{r}{2})}f\left(q^{n-r}x\right)$.

Les dérivées d'ordre supérieur sont utilisées pour la formule de q-Taylor et la formule de q-Rodrigues (une formule utilisée pour construire les q-polynômes orthogonauxModèle:Sfn).

Exemples

On a :

$\mathrm{\forall }a\in ℝ,D_q(a)=0$

$D_q(x)=1$

$\mathrm{\forall }n⩾2,D_q(x^n)=\frac{q^n-1}{q-1}{x}^{n-1}=[n{]}_q{x}^{n-1}.$

$\mathrm{\forall }n⩾1,D_q(x^{-n})=[-n{]}_q{x}^{-n-1}.$

$D_q(\sqrt{x})=\frac{1}{(1+\sqrt{q})\sqrt{x}}.$

Les q-dérivées des autres fonctions usuelles (exponentielle, trigonométriques) ne sont pas définies de façon unique (voir q-exponentielle.

q-intégration

De façon analogue, pour une fonction Modèle:Mvar donnée, une q-primitive Modèle:Mvar sera une fonction telle que sa q-dérivée soit Modèle:Mvar. En partant de la définition de la q-dérivée, on a :

$\begin{array}{cccc}\mathrm{\forall }x\in ℝ,F(qx)=F(x)+(q-1)xf(x)& ⟺& F(x)=F\left(\frac{x}{q}\right)+(q-1)\frac{x}{q}f\left(\frac{x}{q}\right)& \\ & ⟺& F(x)=[F\left(\frac{x}{q^2}\right)+(q-1)\frac{x}{q^2}f\left(\frac{x}{q^2}\right)]+(q-1)\frac{x}{q}f\left(\frac{x}{q}\right)& \\ & ⟺& F(x)=F\left(\frac{x}{q^n}\right)+(q-1)x\sum _{n=1}^N\frac{1}{q^n}f\left(\frac{x}{q^n}\right)& \\ & ⟺& F(x)=C+(q-1)x\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{q^n}f\left(\frac{x}{q^n}\right)& \end{array}$

La dernière équivalence est vraie qui Modèle:Mvar est continue en 0 et si la série converge.

Cette définition n'induit pas qu'une q-primitive de la fonction Modèle:Mvar est nécessairement une q-analogue d'une primitive de Modèle:Mvar.

Généralisations

Calcul post-quantique

Le calcul post-quantique est une généralisation de la théorie du calcul quantique ; elle utilise l'opérateur suivantModèle:,Modèle:Sfn :

$D_{p,q}f(x):=\frac{f(px)-f(qx)}{(p-q)x},x\ne 0$.

Différence de Hahn

Wolfgang Hahn a introduit l'opérateur suivant (parfois appelé différence de Hahn)Modèle:, :

$D_{q,\omega }f(x):=\frac{f(qx+\omega )-f(x)}{(q-1)x+\omega },0<q<1,\omega >0$.

Lorsque $\omega \to 0$, cet opérateur se réduit à une $q$-dérivée, et lorsque $q\to 1$ cela devient une différence amont. Il s'agit d'un outil efficace pour construire des familles de polynômes orthogonaux et pour étudier certains problèmes d'approximationModèle:SfnModèle:,Modèle:,.

β-dérivée

La $\beta$-dérivée est un opérateur défini comme suitModèle:,Modèle:Sfn :

$D_{\beta }f(t):=\frac{f(\beta (t))-f(t)}{\beta (t)-t},\beta \ne t,\beta :I\to I$.

Dans cette définition, $I$ est un intervalle donné et $\beta (t)$ est toute fonction continue strictement croissante (c'est-à-dire $t>s\Rightarrow \beta (t)>\beta (s)$). Quand $\beta (t)=qt$ alors cet opérateur est une $q$-dérivée, et quand $\beta (t)=qt+\omega$ cet opérateur est la différence de Hahn.

Applications

Le q-calcul a été utilisé en apprentissage automatique pour concevoir des fonctions d'activation stochastiqueModèle:Sfn.

Pour d'autres formes de q-dérivée, voir Modèle:Harvsp.

Bibliographie

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• Modèle:Cite thesis.
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Voir aussi

• Calcul quantique

Liens externes

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