Coefficient binomial central

En mathématiques le coefficient binomial central d'ordre Modèle:Mvar est le coefficient binomial défini par :

CBC (n) = (\binom{2 n}{n}) = \frac{(2 n)!}{(n!)^{2}} = \prod_{k = 1}^{n} \frac{n + k}{k} pour tout n ⩾ 0 .

Il est ainsi nommé pour la position centrale qu'il occupe dans la liste des $(\binom{2 n}{k})$ pour $0 ⩽ k ⩽ 2 n$ (ligne d'indice $2 n$ du triangle de Pascal) ; l'identité de Vandermonde : $(\binom{2 n}{n}) = \sum_{k = 0}^{n} {(\binom{n}{k})}^{2}$ montre qu'il s'obtient par la somme des carrés des termes de la ligne d'indice $n$ de ce triangle.

Pour les premières valeurs de Modèle:Mvar, celles du coefficient binomial central associé sont : 1, 2, 6, 20, 70, 252. La liste de toutes les valeurs constitue la Modèle:OEIS.

Propriétés liées à la divisibilité

Autour de la parité

Sauf pour le premier d'entre eux, $(\binom{0}{0}) = 1$ , tout coefficient binomial central est un entier pair.

Plusieurs preuves élémentaires existentModèle:Sfn. La plus simple, utilisant la « formule du pion » ( $(\binom{m}{n}) = \frac{m}{n} (\binom{m - 1}{n - 1})$ ), montre que ce coefficient est le double d'un entier « voisin » dans le triangle de Pascal :

(\binom{2 n}{n}) = 2 (\binom{2 n - 1}{n - 1})

.

Un diviseur élémentaire

Le coefficient binomial central d'ordre Modèle:Mvar est divisible par Modèle:Math, ce qui revient à dire que le nombre de Catalan $C_{n} = \frac{1}{n + 1} (\binom{2 n}{n})$ est un entier.

Pour le prouver, le plus simple est — de même que pour les coefficients binomiaux — d'utiliser l'une des [[Nombre de Catalan#Applications en combinatoire|nombreuses interprétations combinatoires de Modèle:Mvar]]^[1].

Il existe aussi des preuves algébriquesModèle:Sfn. On peut par exemple remarquer^[1]Modèle:,^[2]Modèle:,^[3] que $C_{n} = (\binom{2 n}{n}) - (\binom{2 n}{n - 1})$ .

Cas où n est premier

Si Modèle:Mvar est un nombre premier, l'égalité $(\binom{2 p}{p}) = 2 + \sum_{k = 1}^{p - 1} {(\binom{p}{k})}^{2}$ , montre que $(\binom{2 p}{p}) \equiv 2 (\mod p^{2}) .$

Moins élémentairement, avec le théorème de Wolstenholme, il résulte de $(\binom{2 p}{p}) = 2 (\binom{2 p - 1}{p - 1})$ ^[4] que si Modèle:Mvar est supérieur ou égal à 5, on a même $(\binom{2 p}{p}) \equiv 2 (\mod p^{3}) .$

On conjecture que $(\binom{2 n}{n}) \equiv 2 (\mod n^{3})$ constitue une condition nécessaire et suffisante pour que $n ⩾ 5$ soit premier, car cette propriété est vraie jusqu'à $n = 1 0^{9}$ , mais cette conjecture n'est pas prouvée ^[5].

Plus grand exposant d'un facteur premier

Dans la décomposition en produit de facteurs premiers du coefficient binomial central d'ordre Modèle:Mvar, on note Modèle:Mvar la puissance du nombre premier Modèle:Mvar, c'est-à-dire que Modèle:Mvar est le plus grand exposant tel que Modèle:Mvar divise $(\binom{2 n}{n})$ . Si $⌊ x ⌋$ désigne la partie entière du réel x, alors, en posant $k = ⌊ \log_{p} 2 n ⌋$ , on établit, en application de la formule de Legendre Modèle:Sfn :

e = \sum_{i = 1}^{k} ⌊ \frac{2 n}{p^{i}} ⌋ - 2 \sum_{i = 1}^{k} ⌊ \frac{n}{p^{i}} ⌋

Par exemple, si $n = 14$ et $p = 5$ , alors $k = 2$ et $e = 2$ , de sorte que 5Modèle:Exp divise le nombre $(\binom{28}{14}) = 40 116 600$ mais 5Modèle:Exp ne le divise pas.

D'après le théorème de Kummer, on a aussi : $e = \frac{2 s_{p} (n) - s_{p} (2 n)}{p - 1}$ où $s_{p} (n)$ est la somme des chiffres de Modèle:Mvar en base Modèle:Mvar, ce qui est aussi égal au nombre de retenues lorsqu'on effectue l'addition $n + n$ en base Modèle:Mvar. Par exemple, si tous les chiffres de Modèle:Mvar en base Modèle:Mvar sont strictement inférieurs à $p / 2$ $(\binom{2 n}{n})$ n'est pas multiple de Modèle:Mvar.

Dans le cas où $p = 2$ , le nombre Modèle:Mvar est donc le nombre de Modèle:Math dans l’écriture binaire de Modèle:Mvar ^[6]. Pour tout Modèle:Math, Modèle:Mvar vaut donc au moins Modèle:Math et l'on retrouve ainsi Modèle:Supra que $(\binom{2 n}{n})$ est pair, et on obtient qu'il est même multiple de 4 si Modèle:Mvar n'est pas une puissance de 2^[6].

Particularité de la fin de la décomposition en produit de facteurs premiers

La décomposition en produit de facteurs premiers de $(\binom{2 n}{n})$ possède la particularité de se terminer par la liste des nombres premiers de $] n, 2 n]$ (liste non vide d'après le postulat de Bertrand), comme le montre l'exemple $(\binom{20}{10}) = 2^{2} \times 11 \times 13 \times 17 \times 19$ .

On montre en effet ^[7] à partir de la formule de Legendre ci-dessus qu'un nombre premier Modèle:Mvar apparait dans la décomposition de $(\binom{2 n}{n})$ en produit de facteurs premiers avec l'exposant $e = 1$ pour Modèle:Mvar dans $] n, 2 n]$ , et avec l'exposant $e = 0$ pour $p > 2 n$ .

Le produit des nombres premiers de $] n, 2 n]$ : $P_{n} = \frac{(2 n) #}{n #}$ où $n #$ désigne la primorielle de Modèle:Mvar est en particulier un diviseur de $(\binom{2 n}{n})$ et les diviseurs premiers de $(\binom{2 n}{n}) / P_{n}$ sont tous inférieurs ou égaux à Modèle:Mvar.

Sur le site de l'OEIS, $(P_{n})$ est répertoriée comme Modèle:OEIS, et $((\binom{2 n}{n}) / P_{n})$ comme Modèle:OEIS.

En 1850, Tchebychev utilise cette propriété pour obtenir une évaluation de la distribution des nombres premiers^[8].

Une conjecture due à Erdős

Modèle:Article détaillé Les exemples vus précédemment montrent que si les nombres premiers supérieurs à Modèle:Mvar de la décomposition de $(\binom{2 n}{n})$ ont un exposant égal à 1, au moins l'un de ceux qui précèdent possède un exposant > 1. Si Modèle:Mvar n'est pas une puissance de 2, on a vu que $(\binom{2 n}{n})$ est multiple de $2^{2}$ , mais le phénomène est général ^[9].

En 1975, Paul Erdős conjecture que, pour $n ⩾ 5$ , le coefficient binomial central $(\binom{2 n}{n})$ est toujours divisible par le carré d'un nombre premier, c'est-à-dire qu'il n'est pas quadratfrei. Le résultat est établi pour Modèle:Mvar grand par András Sárközy dix ans plus tard^[10]. Il est totalement démontré par G. Velammal en 1995^[11] et indépendamment par Andrew Granville et Olivier Ramaré en 1996^[12].

La suite des plus grands exposants dans la décomposition en produit de facteurs premiers de $(\binom{2 n}{n})$ est répertoriée comme Modèle:OEIS.

Lien avec la fonction de compte des nombres premiers

Le coefficient binomial central vérifie la majoration $(\binom{2 n}{n}) ⩽ (2 n)^{π (2 n)}$ où $π (x)$ est le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux au réel Modèle:Mvar ^[7]Modèle:,Modèle:Sfn:

En effet, en utilisant la majoration

⌊ 2 y ⌋ - 2 ⌊ y ⌋ ⩽ 1

valable pour tout réel Modèle:Mvar, la valuation

e_{p}

de l'entier Modèle:Mvar dans

(\binom{2 n}{n})

vérifie

e_{p} ⩽ ⌊ \log_{p} 2 n ⌋

d'après la formule de Legendre. Puisque

p^{⌊ \log_{p} 2 n ⌋} ⩽ 2 n

(\binom{2 n}{n}) ⩽ \prod_{p ⩽ 2 n} p^{⌊ \log_{p} 2 n ⌋} ⩽ \prod_{p ⩽ 2 n} 2 n = (2 n)^{π (2 n)}

.

Tchebychev utilise cette propriété pour établir la minoration de gauche dans les inégalités suivantes Modèle:Sfn

\forall x ⩾ 2, \frac{\ln 2}{4} \frac{x}{\ln x} ⩽ π (x) ⩽ 9 \ln 2 \frac{x}{\ln x}

En effet, de manière élémentaire :

2^{n} ⩽ (\binom{2 n}{n})

donc

π (2 n) ⩾ \frac{n \ln 2}{\ln (2 n)}

. Si à

x ⩾ 2

on associe l'entier Modèle:Mvar tel que

n ⩽ \frac{x}{2} < n + 1

:

π (x) ⩾ π (2 n) ⩾ \frac{n \ln 2}{\ln (2 n)} ⩾ \frac{n \ln 2}{\ln x} ⩾ \frac{(2 n + 2) \ln 2}{4 \ln x} > \frac{\ln 2}{4} \frac{x}{\ln x}

.

Séries avec coefficient binomial central

Série génératrice

Notons $A_{n} = (\binom{2 n}{n})$ et $G (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} A_{n} x^{n}$ la série génératrice associée. À l'aide de la relation de récurrence :

(n + 1) A_{n + 1} = 2 (2 n + 1) A_{n}

,

on montre que $G$ est solution de l'équation différentielle linéaire : $(1 - 4 x) G^{'} (x) = 2 G (x)$ ce qui permet d'obtenir l'expressionModèle:Sfn Modèle:,^[13] (valable pour $| x | < 1 / 4$ ) :

\sum_{n = 0}^{+ \infty} (\binom{2 n}{n}) x^{n} = G (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - 4 x}}

.

Série génératrice de l'inverse

Elle se déduit facilement de la relation : $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(2 x)^{2 n}}{(\binom{2 n}{n})} = \frac{1}{1 - x^{2}} + \frac{x \arcsin x}{(1 - x^{2})^{3 / 2}}$ .

On en déduit la somme des inverses des coefficients binomiaux centraux : $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{(\binom{2 n}{n})} = \frac{4}{3} + \frac{2 π \sqrt{3}}{27}$ , voir la Modèle:OEIS.

Cette relation s'obtient par dérivation de la série génératrice des intégrales de Wallis d'ordre impair Modèle:Sfn : $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{4^{n}}{(\binom{2 n}{n})} \frac{x^{2 n + 1}}{2 n + 1} = \frac{\arcsin x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

Pour $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ dans cette dernière, on obtient la série connue d'Euler^[14] : $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{2^{n}}{2 n + 1} \frac{1}{(\binom{2 n}{n})} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{n!}{1 \times 3 \times \dots \times (2 n + 1)} = \frac{π}{2}$ .

Autres séries remarquables

Le coefficient binomial central apparaît de manière inattendue dans des égalités remarquables, ce qui explique l'intérêt qui lui est portéModèle:Sfn.

En 1985, Derrick Lehmer Modèle:Sfn calcule, en fonction de deux suites de polynômes définies par récurrence sur l'entier $k ⩾ - 2$ , les séries de la forme

S_{k} (x) = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{n^{k} (2 x)^{2 n}}{(\binom{2 n}{n})}

Par exemple Modèle:Supra Modèle:Sfn Modèle:,Modèle:Sfn :

S_{- 1} (x) = \frac{2 x \arcsin x}{\sqrt{1 - x^{2}}}

donc en divisant par

2 x

et en intégrantModèle:Sfn Modèle:,Modèle:Sfn :

S_{- 2} (x) = 2 (\arcsin x)^{2}

.

En 1730, dans son étude du problème de Bâle, Stirling avait utilisé l'accélération de convergence $\sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n^{2}} = 3 S_{- 2} (1 / 2) = 3 \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n^{2} (\binom{2 n}{n})}$ pour déterminer des valeurs approchées de la première sommeModèle:Sfn (il ne disposait pas de l'égalité ci-dessus, dont on déduit que $S_{- 2} (1 / 2) = π^{2} / 18$ ).

L'intérêt pour les sommes avec coefficient binomial central s'est accru après que Roger Apéry a utilisé l'égalité $ζ (3) = - \frac{5}{2} S_{- 3} (i / 2)$ où $ζ$ désigne la fonction zêta de Riemann. Dans un théorème qui porte son nom, il en déduit que $ζ (3)$ est irrationnel^[15].

Lehmer montre que $S_{k} (1 / \sqrt{2}) = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{n^{k} 2^{n}}{(\binom{2 n}{n})} = u_{k} π + v_{k}$ où $2 u_{k}$ et $v_{k}$ sont des entiers, et remarque que $v_{k} / u_{k}$ est Modèle:Citation Modèle:Sfn . La suite $(2 u_{k - 1})$ est la Modèle:OEIS et $(v_{k})$ la Modèle:OEIS ; le fait que $\lim v_{k} / u_{k} = π$ a été démontré en 2011 ^[16]Modèle:,^[17].

Lehmer s'intéresse plus généralement aux séries du type $\sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} (\binom{2 n}{n}) ou \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{a_{n}}{(\binom{2 n}{n})}$ , où les $a_{n}$ sont Modèle:Citation Modèle:Sfn. Par exemple, en divisant par $x$ l'égalité $\sum_{n = 1}^{+ \infty} (\binom{2 n}{n}) x^{n} = \frac{1}{\sqrt{1 - 4 x}} - 1$ Modèle:Supra et en intégrant, il obtientModèle:Sfn Modèle:,Modèle:Sfn :

\sum_{n = 1}^{+ \infty} (\binom{2 n}{n}) \frac{x^{n}}{n} = 2 \ln \frac{1 - \sqrt{1 - 4 x}}{2 x}

.

En remplaçant

x

par

\sqrt{x}

dans la double expression ci-dessus de

S_{- 1} (x)

et en dérivant, on obtient :

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^{n} (2 x)^{n - 1}}{n (\binom{2 n}{n})} = \frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{1 - x}}

,

qui donne, pour

x = 1 / 4

^[18]:

\sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n (\binom{2 n}{n})} = π \frac{\sqrt{3}}{9}

Autres expressions du coefficient binomial central

Représentations intégrales

On trouve dans la littérature plusieurs expressions du coefficient binomial central à l'aide d'intégrales^[19]. Ainsi par exemple

(\binom{2 n}{n}) = \frac{2}{π} \int_{0}^{π / 2} (2 \sin x)^{2 n} d x = \frac{1}{π} \int_{0}^{4} \sqrt{\frac{x}{4 - x}} x^{n - 1} d x = \frac{1}{π} \int_{0}^{+ \infty} \frac{1}{(1 / 4 + x^{2})^{n + 1}} d x

La première expression est liée à l'intégrale de Wallis d'ordre pair :

W_{2 n} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2 n} x d x = \frac{π}{2} \frac{(\binom{2 n}{n})}{4^{n}}

.

Expressions binomiales

Le coefficient binomial central s'obtient comme résultat des sommes suivantesModèle:Sfn :

$\sum_{k = 0}^{n} {(\binom{n}{k})}^{2} = (\binom{2 n}{n})$
$\sum_{k = 0}^{2 n} (- 1)^{n - k} {(\binom{2 n}{k})}^{2} = (\binom{2 n}{n})$
$\sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{n - k} (\binom{2 n + 1}{k}) = (\binom{2 n}{n})$

La première relation — cas particulier de l'identité de Vandermonde — s'obtient par exemple en exprimant le coefficient de degré Modèle:Mvar de deux façons dans $(1 + X)^{2 n} = (1 + X)^{n} (1 + X)^{n}$ .

La deuxième relation s'obtient en exprimant le coefficient de degré Modèle:Math de deux façons dans l'identité $(1 - X^{2})^{2 n} = (1 - X)^{2 n} (1 + X)^{2 n}$ .

La troisième est le cas particulier $m = 2 n + 1$ de l'égalité $\sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} (\binom{m}{k}) = (- 1)^{n} (\binom{m - 1}{n})$ , que l'on peut démontrer par récurrence sur $n$ (à l'aide de la formule de Pascal), mais aussi combinatoirement^[20].

Expressions approchées et comportement asymptotique

Modèle:…

Comportement asymptotique

Connaissant un équivalent de la suite des intégrales de Wallis et leur lien avec les coefficients binomiaux centraux Modèle:Supra, on obtient : $(\binom{2 n}{n}) \sim \frac{4^{n}}{\sqrt{π n}}$ .

Cet équivalent permet d'établir la formule de Stirling à partir de celle d'Abraham de Moivre.

Inversement, on peut utiliser la formule de Stirling pour produire un équivalent du coefficient binomial centralModèle:Sfn.

A partir du développement asymptotique de $n$ !, on obtient $(\binom{2 n}{n}) = \frac{4^{n}}{\sqrt{π n}} (1 - \frac{1}{8 n} + o (\frac{1}{n}))$ .

Encadrement

L'encadrement issu du développement ci-dessus : $\frac{4^{n}}{\sqrt{π n}} (1 - \frac{1}{8 n}) ⩽ (\binom{2 n}{n}) ⩽ \frac{4^{n}}{\sqrt{π n}}$ est valable pour tout $n ⩾ 1$ .

On peut même améliorer la majoration en $(\binom{2 n}{n}) ⩽ \frac{4^{n}}{\sqrt{π (n + 1 / 4)}}$ pour tout $n ⩾ 1$ ^[21].

Produit de deux coefficients binomiaux centraux

Le produit $(\binom{2 n}{n}) (\binom{2 m}{m})$ est divisible par $(\binom{n + m}{n})$ . Leur quotient $T_{n, m} = \frac{(2 n)! (2 m)!}{n! m! (n + m)!}$ est représenté par la Modèle:OEIS.

Cette propriété peut se démontrer par récurrence grâce à la relation $T_{n + 1, m} = 4 T_{n, m} - T_{n, m + 1}$ ou à l'aide de la formule de Legendre^[22].

Définition alternative

Dans son encyclopédie Modèle:Lien, Eric W. Weisstein définit le coefficient binomial central d'ordre Modèle:Mvar comme étant le coefficient binomial $(\binom{n}{⌊ n / 2 ⌋})$ ^[23]. Il s'agit alors de la Modèle:OEIS.

Les termes de rang Modèle:Mvar pair selon cette définition correspondent aux coefficients définis au début de cet article.

Références

Modèle:Références

Voir aussi

Bibliographie

Liens externes

Modèle:Planetmath

Modèle:Portail

↑ ^1,0 et ^1,1 Modèle:Ouvrage.
↑ Modèle:Harvsp (avec une coquille).
↑ Modèle:Ouvrage.
↑ Modèle:Citation étrangère dans Modèle:Lien web.
↑ Modèle:Article
↑ ^6,0 et ^6,1 Modèle:Lien web, § 2 : Modèle:Citation.
↑ ^7,0 et ^7,1 Modèle:Ouvrage
↑ Modèle:Article.
↑ Modèle:Ouvrage
↑ Modèle:Article.
↑ Modèle:Article.
↑ Modèle:Article.
↑ Modèle:Harvsp, écrit directement cette formule, comme cas particulier de la formule du binôme généralisée. Pour plus de détails, voir par exemple Modèle:Harvsp, Modèle:Ouvrage (identité 150) ou Modèle:Ouvrage.
↑ Modèle:Ouvrage
↑ Modèle:Lien web.
↑ Modèle:Lien web
↑ Modèle:Article
↑ Modèle:Lien web
↑ Modèle:Lien web
↑ Modèle:Article, § Modèle:Citation étrangère.
↑ Modèle:Article
↑ Modèle:Ouvrage
↑ Modèle:Ouvrage

[Gunderson-1] 1,0 et ^1,1 Modèle:Ouvrage.

[2] Modèle:Harvsp (avec une coquille).

[3] Modèle:Ouvrage.

[MW-4] Modèle:Citation étrangère dans Modèle:Lien web.

[5] Modèle:Article

[Adad§2-6] 6,0 et ^6,1 Modèle:Lien web, § 2 : Modèle:Citation.

[:0-7] 7,0 et ^7,1 Modèle:Ouvrage

[8] Modèle:Article.

[9] Modèle:Ouvrage

[10] Modèle:Article.

[11] Modèle:Article.

[12] Modèle:Article.

[13] Modèle:Harvsp, écrit directement cette formule, comme cas particulier de la formule du binôme généralisée. Pour plus de détails, voir par exemple Modèle:Harvsp, Modèle:Ouvrage (identité 150) ou Modèle:Ouvrage.

[14] Modèle:Ouvrage

[15] Modèle:Lien web.

[16] Modèle:Lien web

[17] Modèle:Article

[18] Modèle:Lien web

[19] Modèle:Lien web

[20] Modèle:Article, § Modèle:Citation étrangère.

[21] Modèle:Article

[:1-22] Modèle:Ouvrage

[23] Modèle:Ouvrage

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[19]

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[21]

[22]

[23]

Coefficient binomial central

Sommaire

Propriétés liées à la divisibilité

Autour de la parité

Un diviseur élémentaire

Cas où n est premier

Plus grand exposant d'un facteur premier

Particularité de la fin de la décomposition en produit de facteurs premiers

Une conjecture due à Erdős

Lien avec la fonction de compte des nombres premiers

Séries avec coefficient binomial central

Série génératrice

Série génératrice de l'inverse

Autres séries remarquables

Autres expressions du coefficient binomial central

Représentations intégrales

Expressions binomiales

Expressions approchées et comportement asymptotique

Comportement asymptotique

Encadrement

Produit de deux coefficients binomiaux centraux

Définition alternative

Références

Voir aussi

Bibliographie

Liens externes

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Coefficient binomial central

Propriétés liées à la divisibilité

Autour de la parité

Un diviseur élémentaire

Cas où n est premier

Plus grand exposant d'un facteur premier

Particularité de la fin de la décomposition en produit de facteurs premiers

Une conjecture due à Erdős

Lien avec la fonction de compte des nombres premiers

Séries avec coefficient binomial central

Série génératrice

Série génératrice de l'inverse

Autres séries remarquables

Autres expressions du coefficient binomial central

Représentations intégrales

Expressions binomiales

Expressions approchées et comportement asymptotique

Comportement asymptotique

Encadrement

Produit de deux coefficients binomiaux centraux

Définition alternative

Références

Voir aussi

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