Fraction continue et approximation diophantienne

Le mathématicien indien Âryabhata fait usage d'approximations diophantiennes construites à l'aide de fractions continues dès le Modèle:Ve siècle, pour extraire des racines carrées.

En mathématiques, la fraction continue d'un irrationnel x fournit une approximation diophantienne de x. Plus précisément, la réduite d'indice n, c'est-à-dire la fraction limitée à n étapes, est un rationnel qui approxime x (par défaut si n est pair et par excès si n est impair). Réciproquement, si l'on considère une fraction continue infinie, c'est-à-dire une suite infinie (a_n) dont le premier terme a₀ est un entier relatif et tous les suivants sont des entiers strictement positifs, la suite de ses réduites converge vers un irrationnel x dont la fraction continue est constituée des a_n.

Les fractions réduites h_n/k_n fournissent les meilleures approximations rationnelles d'un irrationnel x, au sens suivant : la réduite d'indice n est une approximation située à une distance de x inférieure à 1/k_n² et, si une fraction p/q est une approximation située à une distance de x inférieure à 1/(2q²) alors p/q est une réduite de x. Ce résultat porte le nom de théorème de meilleure approximation.

Les fractions continues sont utilisées pour approcher des irrationnels comme des racines carrées ou le [[pi|nombre Modèle:Math]]. Cette propriété permet de résoudre certaines équations diophantiennes comme celle de Pell-Fermat. Elle offre de plus une condition nécessaire et suffisante pour qu'un nombre soit rationnel, à l'origine de la première démonstration de l'irrationalité du [[e (nombre)|nombre Modèle:Math]]. Elle permet d'aller plus loin et ce sont les propriétés des approximations diophantiennes obtenues à l'aide de fractions continues qui permettent de construire les premiers nombres démontrés transcendants, puis de montrer que Modèle:Math et Modèle:Math sont transcendants.

Préambule

Généralités

Modèle:Article détaillé Les exemples les plus simples se trouvent au début de l'article Fraction continue, et concernent les rationnels. Un nombre rationnel x se représente de la manière suivante : Modèle:Centrer

Les deux notations, avec des barres de fractions ou des crochets signifient la même chose. Si p est un entier inférieur à n, le terme a_p, appelé coefficient ou quotient incomplet d'indice p, désigne un entier strictement positif sauf peut être a₀ qui est un entier quelconque. La fraction qui s'arrête au terme a_p est la réduite d'indice p et si 1/x_p+1 est le complément à ajouter dans l'expression à a_p pour obtenir la valeur exacte de x, alors x_p+1 est appelé quotient complet d'indice p + 1, ce qui se traduit par l'égalité : Modèle:Centrer

Ce concept ne se limite pas aux rationnels. Si x est un nombre irrationnel, la suite des coefficients est infinie et celle des réduites est alternée et converge vers x. Pour toute suite infinie d'entiers a_n, strictement positifs à l'exception éventuelle de a₀ qui peut être négatif ou nul, la suite des réduites construites à l'aide des coefficients a_n converge vers un irrationnel dont la fraction continue est constituée des coefficients a_n. Un exemple simple de cette nature est proposé dans l'article Fraction continue d'un irrationnel quadratique. Un irrationnel quadratique est un irrationnel solution d'une équation du second degré à coefficients rationnels. La fraction continue d'un irrationnel est périodique à partir d'un certain rang, si, et seulement si, ce nombre est quadratique.

Quelques résultats utiles sont démontrés dans l'article détaillé. Si h_n/k_n désigne la réduite d'ordre n, on dispose des relations de récurrence suivantes : Modèle:Centrer

ce qui montre que les numérateurs et les dénominateurs des réduites forment deux suites qui tendent vers l'infini. On dispose encore des résultats suivants : Modèle:Centrer

En particulier (d'après la première forme de cette égalité) h_n et k_n sont premiers entre eux et (d'après la seconde) la suite des réduites converge.

Exemple : le nombre Modèle:Math

Leonhard Euler scrute les propriétés des fractions continues pour montrer que e est irrationnel.

En 1737, Leonhard Euler calcule le développement en fraction continue du nombre Modèle:Math, base du logarithme népérien :

(la barre utilisée ici signifie une répétition à l'infini de la suite des entiers qu'elle couvre).

Il prouve ainsi que Modèle:Math est irrationnel, puisque son développement en fraction continue est infini (il montre de même que Modèle:MathModèle:2 est irrationnel).

Modèle:Démonstration/début Tenant à justifier son développement, Euler étudie l'équation de Riccati Modèle:Math. Une solution est q(p) = coth(p/a), ce qui lui permet d'affirmer : Modèle:Retrait qu'il n'hésite pas à réécrire Modèle:Retrait (ce qui équivaut, par conversion, au développement de la fonction tangente hyperbolique qui sera établi rigoureusement par Lambert : Modèle:Retrait

Ceci ne lui donne a priori un développement de Modèle:Math qu'en fraction continue généralisée : Modèle:Retrait mais il a développé des techniques de conversion, consistant ici à intercaler deux 1 pour se débarrasser du 2 au premier numérateur et en faire une fraction continue simple : Modèle:Retrait ce qui, pour s = 1, démontre le résultat annoncé. Modèle:Démonstration/fin

Une autre application qu'on pourrait y trouver serait d'obtenir une valeur approchée de Modèle:Math. La réduite d'ordre 2 est égale à 2,75 et celle d'ordre 10 propose 7 chiffres significatifs. L'approche par la série entière donne cependant plus simplement une preuve d'irrationalité et des approximations (Modèle:Cf. l'article e (nombre)). Le développement en fraction continue permet d'aller un peu plus loin, puisqu'il prouve que Modèle:Math n'est solution d'aucune équation du second degré à coefficients rationnels, car son développement en fraction continue n'est pas périodique. Ce type de démarche ne permet pas d'aller au-delà. De nouvelles idées sont nécessaires, par exemple, pour montrer la transcendance de Modèle:Math.

Malgré ces limitations, les fractions continues qui offrent des suites rationnelles convergeant vers Modèle:Math sont riches en informations sur la nature arithmétique de la limite. La suite de l'article montre, par exemple que si t est rationnel, alors Modèle:Math^t ne l'est pas. La démarche à l'origine de la preuve est celle qui a permis d'établir l'irrationalité de Modèle:Math.

Fragments d'histoire

Modèle:Refnec. Avec la résolution de l'identité de Bézout, c'est la première motivation qui pousse à l'usage d'une telle notion. Âryabhata (476-550) l'utilise pour les deux usages et particulièrement pour extraire des racines carréesModèle:Refinc.

La propriété d'approximation des fractions continues est retrouvée accidentellement sur la racine de 13 par Rafael Bombelli (1526-1572) puis généralisée par Pietro Cataldi (1548-1626) à toutes les racines carrées. Leonhard Euler (1707-1783) développe l'aspect théorique de la méthode. Il montre que tout nombre réel admet un unique développement en fraction continue simple et qu'il est irrationnel si, et seulement si cette fraction continue est de longueur infinie. Il invente une méthode, maintenant connue sous le nom d'approximant de Padé pour déterminer celui de Modèle:Math, ce qui est la première démonstration de son irrationalité. Jean-Henri Lambert (1728-1777) pousse plus loin l'exploration et montre que Modèle:Math n'est pas non plus rationnel.

L'usage d'une fraction continue comme approximation diophantienne pour étudier la nature arithmétique d'un nombre est établi. Le Modèle:S- est celui d'une meilleure compréhension des nombres transcendants. Joseph Liouville en utilise une pour exhiber le premier nombre démontré transcendant. Si le savoir décrit dans cet article s'arrête là, l'histoire, elle, continue. Parmi les multiples progrès, on peut citer Charles Hermite qui établit la transcendance de Modèle:Math en 1873. Puis, à l'aide d'une méthode analogue, Ferdinand von Lindemann montre en 1882 celle de Modèle:Math.

Théorème de meilleure approximation rationnelle

Un corollaire élémentaire du théorème d'approximation de Dirichlet est l'existence, pour tout irrationnel, de « bonnes » approximations rationnelles, avec des dénominateurs k arbitrairement grands et une précision en 1/kModèle:2 (par comparaison, une approximation décimale ne possède en général qu'une précision de l'ordre de 1/k) :

Pour un rationnel x, il n'existe évidemment qu'un nombre fini de telles fractions h/k. Ainsi, un irrationnel se caractérise par le fait qu'il s'approche « mieux » qu'un rationnel par une approximation diophantienne. En utilisant les réduites d'un irrationnel x, on peut expliciter une telle infinité de « bonnes » approximations de x, et diminuer le majorant 1/kModèle:2 en le divisant par 2 et même par Modèle:Racine. Un théorème de Hurwitz établit même que pour tout irrationnel x, il existe une infinité d'approximations h/k avec une erreur majorée par 1/(Modèle:RacinekModèle:2) :

En revanche, le théorème de Thue-Siegel-Roth (affinant celui de Liouville) montre que lorsque l'irrationnel x est algébrique, et si grand que soit son degré, on ne peut pas améliorer l'exposant 2 : pour tout ε > 0, il existe une constante A > 0 telle que pour tout rationnel h/k, |x – h/k| ≥ A/kModèle:Exp.

On parle aussi de « meilleure » approximation, en un sens différent, en considérant que h/k approche bien x lorsque kx – h est petit. Pour k fixé, la valeur minimum de |kx – h|, notéeModèle:, ║kx║, est atteinte pour h égal à l'entier le plus proche de l'irrationnel kx. Pour n ≥ 1, ║kModèle:Indx║ = |kModèle:Indx – hModèle:Ind| et la suite des réduites approche x « de mieux en mieux », au sens où [[Fraction continue#Quotients complets d'un réel|la suite des |kModèle:Indx – hModèle:Ind| est strictement décroissante]]. De plus, kModèle:Ind est le plus petit dénominateur k > kModèle:Ind qui soit « meilleur » que kModèle:Ind, c'est-à-dire tel que ║kx║ < ║kModèle:Indx║. C'est ce qu'expriment la définition et le théorème suivants, qui fournissent d'ailleurs une définition et un algorithme alternatifs pour le développement en fraction continue de x.

Modèle:Théorème Une telle fraction approche donc mieux x que toute fraction de dénominateur plus petit, au sens particulier précisé ci-dessus et a fortiori au sens ordinaire : si 1 ≤ k' < k alors |k'x – h' | > |kx – h| donc Modèle:Nobr

Modèle:Démonstration/début Dans toute la suite des démonstrations, x désigne un irrationnel, n un entier naturel, a_n le coefficient d'indice n de x et h_n/k_n sa réduite d'indice n.

• Toute réduite vérifie la majoration (1) : $|x-\frac{h_n}{k_n}|<\frac{1}{k_n{k}_{n+1}}$ (cf. Fraction continue#Encadrement et convergence) et $k_{n+1}\ge k_n$.
• Sur deux réduites consécutives, il en existe une qui vérifie la majoration (2) :
  Le nombre x se situe entre les deux réduites h_n/k_n et h_n+1/k_n+1, doncModèle:CentrerEn général, k_n+1 est strictement supérieur à k_n doncModèle:Centrerce qui démontre la majoration suivante :Modèle:Centreret la conclusion s'ensuit.
  Le cas exceptionnel k_n+1 = k_n ne peut survenir que si n = 0 et aModèle:Ind = 1. On vérifie directement dans ce cas que 0 < hModèle:Ind/kModèle:Ind – x < 1/(aModèle:Ind + 1) ≤ 1/(2kModèle:IndModèle:2).
• Sur trois réduites consécutives, il en existe une qui vérifie la majoration (3) :
  Modèle:Harvsp.
• Soient h et k deux entiers tels que 0 < k < kModèle:Ind. L'inégalité suivante est vérifiée et l'égalité n'a lieu que si k = kModèle:Ind et h = hModèle:Ind :Modèle:Centrer(en particulier : une fraction dont le dénominateur k vérifie kModèle:Ind ≤ k < kModèle:Ind est une meilleure approximation de x si et seulement si elle est égale à la nModèle:E réduite).
  Modèle:Note autre projet

La démonstration de ce théorème permet également de prouver la propriété suivante, utilisée pour l'étude des fractions continues périodiques.

Ces énoncés et leurs preuves s'adaptent au cas où x est rationnel, moyennant quelques précautions dans le cas où x est un demi-entierModèle:,.

Nombres équivalents

Modèle:Article connexe Deux réels x et y sont dits équivalentsModèle:, s'il existe des entiers a, b, c, d tels que ad – bc = ±1 et y = (ax + b)/(cx + d), autrement dit si une transformation de Möbius entière permet de passer de l'un à l'autre. Les classes d'équivalence sont donc les orbites de l'action du groupe PGL(2, ℤ) et l'orbite de 0 est l'ensemble des rationnels.

Serret a démontré que deux irrationnels x et y, de fractions continues respectives [aModèle:Ind, aModèle:Ind, … ] et [bModèle:Ind, bModèle:Ind, … ], sont équivalents si et seulement s'il existe deux entiers naturels h et k tels que pour tout Modèle:Nobr aModèle:Ind = bModèle:IndModèle:,Modèle:,.

Les nombres équivalents au nombre d'or sont dits « nobles ». Ce sont ceux pour lesquels la constante Modèle:Sqrt, dans le théorème de Hurwitz Modèle:Supra, ne peut pas être améliorée. Pour un irrationnel x non noble, Modèle:Sqrt peut être remplacé par Modèle:Sqrt, qui est la meilleure constante si et seulement si x est équivalent à la racine carrée de 2.

Irrationalité

Résultat de Lambert

Jean-Henri Lambert démontre que si t est un rationnel non nul, alors tan(t) et exp(t) sont irrationnels.

Lambert est un précurseur dans son usage des approximations diophantiennes construites à l'aide de fractions continues, ce qui lui permet de montrer l'irrationalité de Modèle:Math. Il n'utilise pas directement la fraction continue de ce nombre, on ne dispose alors pas d'une expression comme celle d'Euler pour Modèle:Math. Si la théorie garantit l'existence d'une fraction continue égale à Modèle:Math, la difficulté réside dans le fait qu'il n'existe pas alors de méthode connue pour montrer que ce développement est infini.

Lambert établit tout d'abord une expression de la fonction tangente sous forme de fraction continue. Pour cela, il applique l'algorithme d'Euclide (Modèle:Cf. l'article Approximant de Padé). Le problème est que ce type de démarche génère une expression appelée fraction continue généralisée : ce sont des développements d'un nombre réel x de la forme suivante : Modèle:Centrer

La notation utilisée dans le membre de droite est celle de Pringsheim (à l'interversion près des lettres a et b par rapport à sa notation, désormais usuelle, des fractions continues généralisées). Les résultats décrits en première partie de cet article ne s'appliquent plus. Et, à la différence des fractions continues étudiées jusqu'ici, dites simples par opposition, le fait d'autoriser des valeurs quelconques à a_n et b_n pose le problème de convergence, que Lambert traite dans le cas particulier de la fonction tangente, en explicitant les réduites. Puis il établit un résultat qui généralise la proposition indiquant qu'une fraction continue simple infinie n'est jamais rationnelle :

Modèle:Démonstration/début Supposons sans perte de généralité que l'entier aModèle:Ind est nul et procédons par étapes, en supposant d'abord que l'inégalité Modèle:Nobr est vraie pour tout n > 0.

• Les valeurs absolues des réduites sont majorées par 1 :
  Montrons par récurrence sur p que la valeur absolue de la pModèle:E réduite est majorée par 1. Si p est nul, la réduite aussi et la propriété est vérifiée. Supposons le résultat vrai à l'ordre p. La Modèle:Nobr réduite est égale àModèle:RetraitPuisque z est la pModèle:E réduite d'une fraction vérifiant les mêmes hypothèses, sa valeur absolue est, par hypothèse de récurrence, majorée par 1 donc |aModèle:Ind + z| ≥ |aModèle:Ind| – 1 > |bModèle:Ind|, ce qui montre le résultat.
• La valeur absolue de la limite est strictement majorée par 1 :
  La limite est égale àModèle:RetraitD'après le point précédent et par passage à la limite, |y| ≤ 1 donc |aModèle:Ind + y| ≥ |aModèle:Ind| – 1 > |bModèle:Ind|, ce qui montre le résultat.
• La limite de la fraction continue généralisée est irrationnelle :
  On raisonne maintenant par l'absurde et l'on suppose que la limite s'écrit pModèle:Ind/pModèle:Ind avec pModèle:Ind et pModèle:Ind entiers. AlorsModèle:Retraitet d'après le point précédent, |pModèle:Ind/pModèle:Ind| < 1. Les |pModèle:Ind| constituent donc une suite infinie d'entiers positifs strictement décroissante, ce qui est absurde (cette technique de démonstration porte le nom de méthode de descente infinie).
• L'irrationalité reste vraie si l'inégalité |a_n| > |b_n| + 1 n'a lieu qu'à partir d'un certain rang :
  D'après ce qui précède, le quotient complet Modèle:Math correspondant à ce rang est irrationnel. Comme les Modèle:Math sont non nuls, on en déduit de proche en proche l'irrationalité deModèle:Retrait

Nombres à tangente rationnelle, dont Modèle:Math

Modèle:Ancre On connaissait bien avant Lambert des fractions généralisées qui approximent le nombre Modèle:Math. William Brouncker avait montré par exemple que : Modèle:Centrer

Mais cette fraction est loin de vérifier les hypothèses du lemme d'irrationalité. Lambert prend alors le problème de manière inverse et il développe en fraction continue la fonction tangente : Modèle:Centrer ou encore (par conversion) : Modèle:Centrer

Cette fraction satisfait les hypothèses de sa proposition si m et n sont des entiers non nuls, ce qui lui permet d'énoncer le résultat suivant :

Par contraposée, tous les réels non nuls dont la tangente est rationnelle sont des irrationnels. Le nombre Modèle:Math en fait partie puisque sa tangente est nulle.

Modèle:Démonstration/début Plus exactement — puisqu'il n'est pas exclu a priori que les réels où le cosinus s'annule soient rationnels — Lambert démontre qu'en tout rationnel non nul où la tangente est définie, elle est irrationnelle. En effet, en un tel point m/n, il a montré la convergence de sa fraction continue : Modèle:Centrer

Il existe manifestement un indice i tel que pour tout j ≥ i, (2j – 1)n > mModèle:2 + 1. D'après le résultat de Lambert, tan(m/n) est donc irrationnel. Modèle:Démonstration/fin

Exponentielle d'un rationnel

Modèle:Ancre [[#Exemple : le nombre e|Euler avait déduit l'irrationalité de Modèle:Math]] et de Modèle:MathModèle:2 de leurs développements en fractions continues simples. Lambert va bien plus loin grâce aux fractions continues généralisées : il définit la fonction tangente hyperbolique et, en transposant les calculs précédents, obtient de même :

Le même raisonnement que pour la fonction tangente s'applique et la tangente hyperbolique de tout rationnel non nul est irrationnelle ou, ce qui est équivalent :

Autres applications

Équation de Pell-Fermat

Modèle:Article détaillé L'équation de Pell-Fermat est l'équation suivante, où d désigne un entier positif non carré parfait. Modèle:Centrer

À tout couple de solution (a, b) de cette équation, correspond la fraction a / b, qui se trouve être une approximation de la racine de d. Cette approximation est à une distance inférieure à 1/(2b²) de la racine ; c'est donc une réduite de la fraction continue. Cette propriété peut être utilisée pour élucider la structure de l'ensemble des solutions. Elle offre aussi un algorithme d'extraction de racine carrée dont le nombre de décimales exactes double à chaque étape.

Automate de Huygens

Modèle:Article détaillé Une application curieuse provient de l'horlogerie. Christian Huygens (1629-1695) souhaite réaliser un automate planétaire, c'est-à-dire un système à manivelle représentant le mouvement des différentes planètes du système solaire. Sachant que le rapport entre une année terrestre et celle de Saturne est approximativement égal à 2 640 858/77 708 431, comment choisir le nombre de dents pour les différents engrenages qui composent la machine ? L'approximation diophantienne que représente la fraction continue lui offre une solution : Modèle:Citation

Transcendance

Joseph Liouville utilise des approximations diophantiennes pour construire explicitement des nombres transcendants.

Le fait qu'il n'existe qu'un nombre fini de fractions p/q à une distance inférieure à 1/(2q²) du rationnel signifie qu'un nombre rationnel s'approche « mal » par des fractions. Cette idée se généralise aux solutions d'une équation polynomiale. Soit α un nombre réel solution de l'équation f(x) = 0, où f désigne un polynôme de degré d à coefficients rationnels. Le théorème de Liouville donne une limite à la qualité de l'approximation de α par un nombre rationnel p/q ; précisément, il indique qu'il existe une constante réelle A telle que pour tout rationnel p/q : Modèle:Centrer

ce qui permet de construire une fraction continue de limite x qui n'est solution d'aucune équation polynomiale à coefficients rationnels, c'est-à-dire un nombre transcendant. Plus exactement, Liouville démontre que si une fraction continue (a_n) converge vers un nombre algébrique de degré d ≥ 2, alors il existe une constante C telle que Modèle:Centrer où (k_n) désigne encore la suite des dénominateurs des réduites de cette fraction continue. Liouville en déduit sa méthode de construction de nombres transcendants : Modèle:Citation et suggère par exemple d'imposer par récurrence, à partir d'un certain rang : Modèle:Centrer D'après son résultat, la limite des réduites de toute fraction continue ainsi construite est un nombre transcendant.

Voir aussi

Article connexe

• Mesure d'irrationalité

Bibliographie

• Roger Descombes, Éléments de théorie des nombres, PUF, 1986
• Modèle:Ouvrage