Polynôme de Bateman

Modèle:Voir homonymes En mathématiques, les polynômes de Bateman constituent une famille de polynômes remarquables, étudiée par le mathématicien anglais Harry BatemanModèle:,. Initialement introduits en rapport avec l'étude des fonctions hypergéométriques, ces polynômes constituent une famille orthogonale et à ce titre sont liés à d'autres familles telles les polynômes de Legendre, de Jacobi, de Bernstein, etc. Modèle:,Modèle:, Ils apparaissent naturellement dans plusieurs contextes, tels que l'étude des solutions des équations aux dérivées partielles dans des contextes symétriques.

Définition

Bateman définit initialement les polynômes $F_n$ en termes de la fonction hypergéométrique et d'une série génératrice :

$$(1-t{)}^{z}F(\frac{1+z}{2},\frac{1+z}{2},1;t^2)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{t}^n{F}_n(z)$$Une définition équivalente à partir de la fonction hypergéométrique généralisée est :

$$F_n(z)={}_3{F}_2(\begin{array}{c}-n,n+1,\frac{1}{2}(z+1)\\ 1,1\end{array};1)$$

Bateman montre également que ces polynômes satisfont à une relation de récurrence : $(n+1{)}^2{F}_{n+1}(z)=-(2n+1)z{F}_n(z)+n^2{F}_{n-1}(z)$, avec $F_0(z)=1,F_1(z)=-z$. En particulier, cette relation établit que le degré de $F_n$est exactement $n$.

Relations aux autres familles et généralisation

Carlitz a montré qu'à un changement de variable près, les polynômes de Bateman coïncident avec les polynômes de Touchard :

$$Q_n(x)=(-1{)}^n{2}^{n}n!{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}^{-1}{F}_n(2x+1)$$

Une caractérisation des polynômes de Bateman à partir des polynômes de Legendre $P_n$ et des fonctions hyperboliques est donnée par la relation :

$$F_n\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\right)\mathrm{sech}(x)=\mathrm{sech}(x)P_n(\tanh (x))$$où on interprète le membre de gauche comme un opérateur pseudo-différentiel. Cette dernière écriture se prête naturellement à une généralisation, due à Pasternack, à savoir :$$F_n^{(m)}\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\right){\mathrm{sech}}^{m+1}(x)={\mathrm{sech}}^{m+1}(x)P_n(\tanh (x))$$

qui possède également une écriture à partir de la fonction hypergéométrique généraliséeModèle:,, pour tout $m\in ℂ\setminus \{-1\}$, une relation de récurrence analogue à $F_n$, et qui forme encore une famille orthogonaleModèle:,Modèle:,.

Enfin, les polynômes de Bateman peuvent être exprimés en fonction des polynômes de HahnModèle:,Modèle:, $p_n$(ou des polynômes de Wilson, qui les généralisent) après changement de variable, précisément $p_n(x;\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})={\mathrm{i}}^{n}n!F_n\left(2\mathrm{i}x\right)$.

Propriétés remarquables

Les polynômes de Bateman forment une famille orthogonale, pour le produit scalaire défini ainsi :

$$⟨F_n,F_m⟩=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{F}_m(\mathrm{i}x)F_n(\mathrm{i}x){\mathrm{sech}}^2\left(\frac{\pi x}{2}\right)\mathrm{d}x=\frac{4(-1{)}^n}{\pi (2n+1)}{\delta }_{m,n}$$

où ${\delta }_{m,n}$est la fonction de Kronecker. En particulier, il ne s'agit pas de polynômes orthonormés, mais on peut poser $B_n(z)=2{\mathrm{i}}^n{F}_n(\mathrm{i}z)/\sqrt{\pi (2n+1)}$qui vérifient $⟨B_n,B_m⟩={\delta }_{m,n}$, les « polynômes de Bateman normalisés ».

Premiers polynômes de la famille

On obtient les premiers polynômes de la famille en itérant la relation de récurrence, à partir des deux premières valeurs $F_0(z)=1,F_1(z)=-z$. Ainsi :

$\begin{array}{cc}{F}_2(x)& =\frac{1}{4}+\frac{3}{4}{x}^2\\ F_3(x)& =-\frac{7}{12}x-\frac{5}{12}{x}^3\\ F_4(x)& =\frac{9}{64}+\frac{65}{96}{x}^2+\frac{35}{192}{x}^4\\ F_5(x)& =-\frac{407}{960}x-\frac{49}{96}{x}^3-\frac{21}{320}{x}^5\end{array}$